Madhyamik Mathematics Chapter 1: Dighat Somikoron (দ্বিঘাত সমীকরণ)
Koshe Dekhi 1.1 Solutions (কষে দেখি ১.১) – Class 10 WBBSE Board
আপনি কি মাধ্যমিক গণিত সিলেবাসের দ্বিঘাত সমীকরণ (Dighat Somikoron) অধ্যায়ের কষে দেখি ১.১ সমাধান খুঁজছেন? এখানে WBBSE Class 10 (দশম শ্রেণী) এর জন্য অধ্যায় 1-এর সম্পূর্ণ সমাধান পাবেন। এই গাইডে, আমরা প্রতিটি প্রশ্নের ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা সহ Quadratic Equations (দ্বিঘাত সমীকরণ) এর সমাধান করেছি, যা আপনার পরীক্ষার প্রস্তুতিকে সহজ করবে।
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১
নিচে “দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১” অনুশীলনীটির সমাধানগুলো ধাপে ধাপে, আরও পরিষ্কার ব্যাখ্যাসহ উপস্থাপন করা হলো। আশা করি এভাবে পাঠকরা বিষয়টা ভালো করে অনুধাবন করতে পারবে।
১. কোনগুলো দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা-মালা?
দ্বিঘাত বহুপদী হলে সর্বোচ্চ ঘাত $2$ হতে হবে।
| ক্রমিক | বহুপদী | সরলীকরণ | সর্বোচ্চ ঘাত | দ্বিঘাত? |
|---|---|---|---|---|
| (i) | $x^2 – 7x + 2$ | (সরাসরি) | 2 | ✅ হ্যাঁ |
| (ii) | $7x^5 – x(x+2)$ | $=7x^5 – x^2 -2x$ | 5 | ❌ না |
| (iii) | $2x(x+5)+1$ | $=2x^2+10x+1$ | 2 | ✅ হ্যাঁ |
| (iv) | $2x-1$ | (সরাসরি) | 1 | ❌ না |
উত্তর: (i) ও (iii) দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা-মালা।
২. কোন সমীকরণগুলোকে $ax^2+bx+c=0$ (যেখানে $a\neq0$) আকারে লেখা যাবে?
একটি সমীকরণকে $ax^2+bx+c=0$ আকারে লেখার জন্য:
- প্রত্যেকটি সদস্যই $x$-এরই পূর্ণসংখ্যা ঘাতসহ হতে হবে।
- $x^2$, $x$ ও ধ্রুবকের (constant) সহগ থাকবে।
- $x$-এর ঘাত ২’র বেশি বা ভগ্নাংশ হলো না।
| ক্রমিক | সমীকরণ | বিশ্লেষণ | লেখা যাবে? |
|---|---|---|---|
| (i) | $x^2 -6x +1=0$ | সরাসরি $ax^2+bx+c=0$ | ✅ হ্যাঁ |
| (ii) | $x^2 – 6\sqrt{x} +2=0$ | মাঝখানে $\sqrt{x}$ আছে → পূর্ণশক্তি না → বিহিত হয় না | ❌ না |
| (iii) | $(x-2)^2 = x^2 -4x +4$ | স্তরবিন্যাস দেখলে অভেদ (identity) → সমীকরণ নয় | ❌ না |
| (iv) | $2x^2+0x+9=0$ | (যেমন) | ✅ হ্যাঁ |
মন্তব্য: (ii) ও (iii)-তে $x$-এর ভগ্নাংশ/অনুপস্থিত অংশ আছে, তাই $ax^2+bx+c$ ফর্মে লেখা যাবে না।
৩. $x^6 – x^3 -2 = 0$ কে দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর
এখানে লক্ষ্য করি $x^6=(x^3)^2$। তাই ধরি $y=x^3$। তাহলে মূল সমীকরণ হবে:
\[ (x^3)^2 – (x^3) – 2 = 0 \;\Longrightarrow\; y^2 – y -2 = 0, \]
যা স্পষ্টই একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
৪. কত মানে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না?
প্রশ্ন: $(a-2)^2 + 3x +5 = 0$ সমীকরণটি কোন $a$-এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ নয়?
\[ (a-2)^2+3x+5=0 \]
এখানে $x^2$-টি আসবে না যদি $(a-2)^2$ ধ্রুবক দেয়, অর্থাৎ $(a-2)=0$।
\[ \therefore a-2=0 \;\Longrightarrow\; a=2 \]
উত্তর: $a=2$ হলে এটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
৫. বিবৃতি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন
১) “৪২ কে দুটি অংশে বিভক্ত করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।”
ধরি প্রথম অংশ $x$, দ্বিতীয় হবে $42-x$। শর্ত:
\[ x^2 = 42 – x \;\Longrightarrow\; x^2 + x -42 = 0. \]
২) “দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল ১৪৩।”
ধরি প্রথম সংখ্যা $x$, দ্বিতীয় হবে $x+2$।
\[ x(x+2)=143 \;\Longrightarrow\; x^2 +2x -143 = 0. \]
৩) “দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের যোগফল ৩১৩।”
ধরি $x$ ও $x+1$।
\[ x^2 + (x+1)^2 =313 \;\Longrightarrow\; x^2 + x -156=0. \]
৬. বিভিন্ন বাস্তব–জীবন সমস্যায় দ্বিঘাত সমীকরণ
(i) আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ১৫ মিটার, দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ মিটার বেশি
ধরি প্রস্থ = $x$, তাহলে দৈর্ঘ্য = $x+3$।
\[ x^2 + (x+3)^2 = 15^2 \;\Longrightarrow\; x^2 +3x -108 =0. \]
(ii) ৮০ টাকায় চিনি, দাম $x$ টাকা/কেজি, ৪ কেজি বেশি পেলে দাম ১ টাকা কম
ধরি দাম = $x$, তখন:
\[ \frac{80}{x} – \frac{80}{x-1} = 4 \;\Longrightarrow\; x^2 – x -20 =0. \]
(iii) ট্রেন ৩০০ কিমি সম্পন্নে $x$ গতিতে, ৫ কিমি বেশি করলে ২ ঘণ্টা কম সময়
\[ \frac{300}{x} – \frac{300}{x+5} =2 \;\Longrightarrow\; x^2 +5x -750 =0. \]
(iv) ঘড়ি বিক্রেতার লাভ–লোকসান
ক্রয়মূল্য = $x$, বিক্রয় = $336$।
\[ \frac{336-x}{x}\cdot100 = x \;\Longrightarrow\; x^2 +100x -33600 =0. \]
(v) স্রোতের বেগ ২ কিমি/ঘণ্টা, ২১ কিমি যাওয়া-আসায় মোট ১০ ঘন্টা
নৌকার গতিবেগ = $x$,
\[ \frac{21}{x+2} + \frac{21}{x-2} =10 \;\Longrightarrow\; 5x^2 -21x -20 =0. \]
(vi) দুই জন মিলে কাজ ২ ঘণ্টায়, একজনকে ৩ ঘণ্টা বেশি লাগলে
মহিম = $x$ ঘন্টায়, মজিদ = $x+3$ ঘন্টায় একক কাজ করে।
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x^2 – x -6 =0. \]
লক্ষ্য করুন: প্রতিটি ক্ষেত্রে ধাপে ধাপে অনুসরণ করলে—প্রথমেই ধরা, তারপর কাজের স্বরূপ, সমীকরণ গঠন ও শেষে সরলীকরণ—প্রকৃতপক্ষে দ্বিঘাত সমীকরণের ফর্ম $ax^2+bx+c=0$ আস্তে আস্তে তৈরি হয়।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি
নিচের সমীকরণগুলিকে \( ax^2 + bx + c = 0 \) আকারে প্রকাশ করা যায় কিনা যাচাই করুন।
\( x – 1 + \dfrac{1}{x} = 6 \quad (x \neq 0) \)
ধাপ ১: উভয়পক্ষকে \( x \) দ্বারা গুণ করুন
\[ \frac{x^2 – x + 1}{x} = 6 \implies x^2 – x + 1 = 6x \]
ধাপ ২: সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করুন
\[ x^2 – 7x + 1 = 0 \]
এই সমীকরণটি দ্বিঘাত আকারে আছে (\( a = 1, b = -7, c = 1 \))
\( x + \dfrac{3}{x} = x^2 \quad (x \neq 0) \)
ধাপ ১: উভয়পক্ষকে \( x \) দ্বারা গুণ করুন
\[ x^2 + 3 = x^3 \]
এটি একটি ত্রিঘাত সমীকরণ (ডিগ্রি ৩), তাই দ্বিঘাত আকারে লেখা যায় না।
\( x^2 – 6\sqrt{x} + 2 = 0 \)
টিপ: \(\sqrt{x}\) পদ থাকায় এটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে নেই!
3. প্রশ্ন: \( x^6 – x^3 – 2 = 0 \) সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে দ্বিঘাত?
ধাপ ১: চল প্রতিস্থাপন
ধরি, \( y = x^3 \)
∴ \( x^6 = (x^3)^2 = y^2 \)
ধাপ ২: সমীকরণ পুনর্লিখন
\( y^2 – y – 2 = 0 \)
4. প্রশ্ন (i): \((a – 2)x^2 + 3x + 5 = 0\) সমীকরণটি \(a\)-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না?
সমাধান:
\((a – 2)x^2 + 3x + 5 = 0\) সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি \(x^2\)-এর সহগ শূন্য হয়।
অর্থাৎ, \(a – 2 = 0\) ∴ \(a = 2\)
উত্তর: \(a = 2\)
প্রশ্ন (ii): \(\frac{x}{4 – x} = \frac{1}{3x} \quad (x \neq 0, 4)\) কে \(ax^2 + bx + c = 0\) আকারে প্রকাশ করলে \(x\)-এর সহগ কত?
সমাধান:
\(\frac{x}{4 – x} = \frac{1}{3x}\)
বা, \(3x^2 = 4 – x\) [আড়গুণন]
বা, \(3x^2 + x – 4 = 0\)
উত্তর: \(x\)-এর সহগ = 1
প্রশ্ন (iii): \(3x^2 + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2\) কে দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করুন।
সমাধান:
\(3x^2 + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2\)
বা, \(3x^2 + 7x + 23 = x^2 + 7x + 14\) [ডানপক্ষ প্রসারিত]
বা, \(2x^2 + 9 = 0\) [পদগুলো একপাশে আনলে]
বা, \(2x^2 + 0x + 9 = 0\)
উত্তর: \(2x^2 + 9 = 0\) (যেখানে \(a = 2, b = 0, c = 9\))
প্রশ্ন (iv): \((x + 2)^3 = x(x^2 – 1)\) কে দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করে সহগ লিখুন।
সমাধান:
\((x + 2)^3 = x(x^2 – 1)\)
বা, \(x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 – x\) [বামপক্ষ প্রসারিত]
বা, \(6x^2 + 13x + 8 = 0\) [সরলীকরণ]
উত্তর: \(6x^2 + 13x + 8 = 0\)
সহগ: \(x^2 = 6\), \(x = 13\), ধ্রুবক = 8
প্রশ্ন (i): 42 কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করো যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়
সমাধান:
প্রশ্ন (ii): দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
সমাধান:
প্রশ্ন (iii): দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
সমাধান:
১. ধরি, সংখ্যা দুটি \( x \) ও \( x + 1 \)
২. শর্ত: \( x^2 + (x + 1)^2 = 313 \)
৩. সমীকরণ: \( 2x^2 + 2x – 312 = 0 \)
৪. সরলীকরণ: \( x^2 + x – 156 = 0 \)
৫. উৎপাদক: \( (x + 13)(x – 12) = 0 \)
৬. সমাধান: \( x = 12 \) (যেহেতু \( x = -13 \) গ্রহণযোগ্য নয়)
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
প্রশ্ন:
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, প্রস্থ = \( x \) মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = \( (x + 3) \) মিটার
\[ \sqrt{x^2 + (x+3)^2} = 15 \]
\[ x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 225 \] \[ 2x^2 + 6x + 9 = 225 \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2} = \frac{-3 \pm 21}{2} \] \[ x = 9 \quad (\because\ \text{প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না}) \]
প্রশ্ন:
(ii) এক ব্যক্তি ৪০ টাকায় কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও ৪ কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে প্রতি কিগ্রা চিনির দাম ১ টাকা কম হতো।
সমাধান:
ধরি, ক্রয়কৃত চিনির পরিমাণ = \( x \) কিগ্রা
∴ প্রকৃত দাম = \( \frac{40}{x} \) টাকা/কিগ্রা
নতুন পরিমাণ = \( (x + 4) \) কিগ্রা
নতুন দাম = \( \frac{40}{x + 4} \) টাকা/কিগ্রা
\[ \frac{40}{x} – \frac{40}{x + 4} = 1 \]
\[ 40\left(\frac{4}{x(x + 4)}\right) = 1 \] \[ \frac{160}{x^2 + 4x} = 1 \] \[ x^2 + 4x = 160 \]
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 640}}{2} = \frac{-4 \pm 25.61}{2} \] \[ x = 10.8 \quad (\because\ \text{পরিমাণ ঋণাত্মক হতে পারে না}) \]
(iii)
দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
ধরি, ট্রেনটির সমবেগ \(x\) কিমি/ঘণ্টা।… দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে ট্রেনটির সময় লাগে \(\frac{300}{x}\) ঘণ্টা। ট্রেনটির সমবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে হত \((x + 5)\) কিমি/ঘন্টা। তখন দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে ট্রেনটির সময় লাগত \(\frac{300}{x + 5}\) ঘণ্টা।
প্রশ্নানুসারে,
\(\frac{300}{x} – \frac{300}{x + 5} = 2\)
বা, \(\frac{150}{x} – \frac{150}{x + 5} = 1\)
বা, \(\frac{150(x + 5) – 150x}{x(x + 5)} = 1\)
বা, \(\frac{150x + 750 – 150x}{x(x + 5)} = 1\)
বা, \(\frac{750}{x^2 + 5x} = 1\)
বা, \(x^2 + 5x = 750\)
বা, \(x^2 + 5x – 750 = 0\)
(iv)
একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে ৩৩৬ টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
∴ লাভ = \( (৩৩৬ – x) \) টাকা [∵ বিক্রয়মূল্য = ৩৩৬ টাকা]
শতকরা লাভ = \( \frac{লাভ}{ক্রয়মূল্য} \times ১০০\% \)
অর্থাৎ, \( \frac{৩৩৬ – x}{x} \times ১০০\% \)
প্রশ্নানুসারে,
$$ \begin{align*} \frac{৩৩৬ – x}{x} \times ১০০\% &= x\% \\ \frac{৩৩৬০০ – ১০০x}{x} &= x \\ x^2 &= ৩৩৬০০ – ১০০x \\ x^2 + ১০০x – ৩৩৬০০ &= ০ \end{align*} $$ ∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল:
$$ x^2 + ১০০x – ৩৩৬০০ = ০ $$
প্রশ্ন:
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে। নৌকার বেগ নির্ণয় কর।
সমাধান:
স্রোতের বেগ = 2 কিমি/ঘণ্টা
মোট সময় = 10 ঘণ্টা
দূরত্ব (প্রতিটি দিক) = 21 কিমি
স্রোতের অনুকূলে বেগ = \( (x + 2) \) কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = \( (x – 2) \) কিমি/ঘণ্টা
\[ \frac{21}{x + 2} + \frac{21}{x – 2} = 10 \]
\[ 21\left(\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2}\right) = 10 \] \[ 21\left(\frac{2x}{x^2 – 4}\right) = 10 \] \[ \frac{42x}{x^2 – 4} = 10 \]
প্রশ্ন:
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের ৩ ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি ২ ঘণ্টায় শেষ করতে পারে। মহিমের সময় নির্ণয় কর।
সমাধান:
বাগান পরিষ্কারে মহিমের সময় লাগে = \( x \) ঘণ্টা
∴ মজিদের সময় লাগে = \( (x + 3) \) ঘণ্টা
মহিমের হার = \( \frac{1}{x} \) অংশ/ঘণ্টা
মজিদের হার = \( \frac{1}{x+3} \) অংশ/ঘণ্টা
সম্মিলিত হার = \( \frac{1}{2} \) অংশ/ঘণ্টা
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2} \]
\[ 2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right) = 1 \] \[ 2\left(\frac{x+3 + x}{x(x+3)}\right) = 1 \] \[ \frac{4x + 6}{x^2 + 3x} = 1 \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] \[ x = 3 \quad (\because\ \text{সময় ঋণাত্মক হতে পারে না}) \]
প্রশ্ন:
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
সমাধান:
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্ক = \( x \)
∴ একক স্থানীয় অঙ্ক = \( x + 6 \)
\[ \text{সংখ্যাটি} = 10x + (x + 6) = 11x + 6 \]
\[ x(x + 6) = (11x + 6) – 12 \]
\[ x^2 + 6x = 11x – 6 \] \[ x^2 + 6x – 11x + 6 = 0 \] \[ x^2 – 5x + 6 = 0 \]
\[ x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \] ∴ \( x = 2 \) অথবা \( 3 \)
সম্ভাব্য সংখ্যাদ্বয়: \( 28 \) (\(2\) ও \(8\)) এবং \( 39 \) (\(3\) ও \(9\))
প্রশ্ন:
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের চারিপাশে সমান চওড়ার রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার হলে রাস্তার চওড়া নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, রাস্তার চওড়া = \( x \) মিটার
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = \( 45 + 2x \) মিটার
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = \( 40 + 2x \) মিটার
\[ (45 + 2x)(40 + 2x) – (45 \times 40) = 450 \]
\[ 1800 + 90x + 80x + 4x^2 – 1800 = 450 \] \[ 4x^2 + 170x = 450 \]
\[ x = \frac{-85 \pm \sqrt{(85)^2 – 4 \times 2 \times (-225)}}{2 \times 2} \] \[ x = \frac{-85 \pm 95}{4} \Rightarrow x = 2.5 \text{ মিটার} \]
FAQs (প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন):
Q1: দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করার সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি কোনটি?
A1: উৎপাদকে বিশ্লেষণ বা Quadratic Formula ব্যবহার করুন।
Q2: Class 10 গণিতে দ্বিঘাত সমীকরণ কতটা গুরুত্বপূর্ণ?
A2: WBBSE সিলেবাসে এই অধ্যায় থেকে প্রতি বছর ৮-১০ নম্বরের প্রশ্ন আসে।
এই গাইডটি Madhyamik গণিত প্রকাশ বইয়ের সাথে সম্পূর্ণ সঙ্গতিপূর্ণ এবং দশম শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের জন্য আদর্শ। সমাধানগুলি বুঝতে সমস্যা হলে কমেন্টে জানান!
