আপনি কি মাধ্যমিক গণিত সিলেবাসের দ্বিঘাত সমীকরণ (Dighat Somikoron) অধ্যায়ের কষে দেখি ১.১ সমাধান খুঁজছেন? এখানে WBBSE Class 10 (দশম শ্রেণী) এর জন্য অধ্যায় 1-এর সম্পূর্ণ সমাধান পাবেন। এই গাইডে, আমরা প্রতিটি প্রশ্নের ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা সহ Quadratic Equations (দ্বিঘাত সমীকরণ) এর সমাধান করেছি, যা আপনার পরীক্ষার প্রস্তুতিকে সহজ করবে।
নিচে “দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১” অনুশীলনীটির সমাধানগুলো ধাপে ধাপে, আরও পরিষ্কার ব্যাখ্যাসহ উপস্থাপন করা হলো। আশা করি এভাবে পাঠকরা বিষয়টা ভালো করে অনুধাবন করতে পারবে।
১. কোনগুলো দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা-মালা?
দ্বিঘাত বহুপদী হলে সর্বোচ্চ ঘাত $2$ হতে হবে।
ক্রমিক
বহুপদী
সরলীকরণ
সর্বোচ্চ ঘাত
দ্বিঘাত?
(i)
$x^2 – 7x + 2$
(সরাসরি)
2
✅ হ্যাঁ
(ii)
$7x^5 – x(x+2)$
$=7x^5 – x^2 -2x$
5
❌ না
(iii)
$2x(x+5)+1$
$=2x^2+10x+1$
2
✅ হ্যাঁ
(iv)
$2x-1$
(সরাসরি)
1
❌ না
উত্তর: (i) ও (iii) দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা-মালা।
২. কোন সমীকরণগুলোকে $ax^2+bx+c=0$ (যেখানে $a\neq0$) আকারে লেখা যাবে?
একটি সমীকরণকে $ax^2+bx+c=0$ আকারে লেখার জন্য:
প্রত্যেকটি সদস্যই $x$-এরই পূর্ণসংখ্যা ঘাতসহ হতে হবে।
$x^2$, $x$ ও ধ্রুবকের (constant) সহগ থাকবে।
$x$-এর ঘাত ২’র বেশি বা ভগ্নাংশ হলো না।
ক্রমিক
সমীকরণ
বিশ্লেষণ
লেখা যাবে?
(i)
$x^2 -6x +1=0$
সরাসরি $ax^2+bx+c=0$
✅ হ্যাঁ
(ii)
$x^2 – 6\sqrt{x} +2=0$
মাঝখানে $\sqrt{x}$ আছে → পূর্ণশক্তি না → বিহিত হয় না
❌ না
(iii)
$(x-2)^2 = x^2 -4x +4$
স্তরবিন্যাস দেখলে অভেদ (identity) → সমীকরণ নয়
❌ না
(iv)
$2x^2+0x+9=0$
(যেমন)
✅ হ্যাঁ
মন্তব্য: (ii) ও (iii)-তে $x$-এর ভগ্নাংশ/অনুপস্থিত অংশ আছে, তাই $ax^2+bx+c$ ফর্মে লেখা যাবে না।
৩. $x^6 – x^3 -2 = 0$ কে দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর
এখানে লক্ষ্য করি $x^6=(x^3)^2$। তাই ধরি $y=x^3$। তাহলে মূল সমীকরণ হবে:
লক্ষ্য করুন: প্রতিটি ক্ষেত্রে ধাপে ধাপে অনুসরণ করলে—প্রথমেই ধরা, তারপর কাজের স্বরূপ, সমীকরণ গঠন ও শেষে সরলীকরণ—প্রকৃতপক্ষে দ্বিঘাত সমীকরণের ফর্ম $ax^2+bx+c=0$ আস্তে আস্তে তৈরি হয়।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি
নিচের সমীকরণগুলিকে \( ax^2 + bx + c = 0 \) আকারে প্রকাশ করা যায় কিনা যাচাই করুন।
প্রশ্ন (i)
\( x – 1 + \dfrac{1}{x} = 6 \quad (x \neq 0) \)
📝
ধাপ ১: উভয়পক্ষকে \( x \) দ্বারা গুণ করুন
\[ \frac{x^2 – x + 1}{x} = 6 \implies x^2 – x + 1 = 6x \]
🔀
ধাপ ২: সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করুন
\[ x^2 – 7x + 1 = 0 \]
✅
এই সমীকরণটি দ্বিঘাত আকারে আছে (\( a = 1, b = -7, c = 1 \))
প্রশ্ন (ii)
\( x + \dfrac{3}{x} = x^2 \quad (x \neq 0) \)
📝
ধাপ ১: উভয়পক্ষকে \( x \) দ্বারা গুণ করুন
\[ x^2 + 3 = x^3 \]
❌
এটি একটি ত্রিঘাত সমীকরণ (ডিগ্রি ৩), তাই দ্বিঘাত আকারে লেখা যায় না।
প্রশ্ন (iii)
\( x^2 – 6\sqrt{x} + 2 = 0 \)
💡
টিপ: \(\sqrt{x}\) পদ থাকায় এটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে নেই!
সমাধান:
\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 640}}{2} = \frac{-4 \pm 25.61}{2}
\]
\[
x = 10.8 \quad (\because\ \text{পরিমাণ ঋণাত্মক হতে পারে না})
\]
(iii)
দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
ধরি, ট্রেনটির সমবেগ \(x\) কিমি/ঘণ্টা।… দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে ট্রেনটির সময় লাগে \(\frac{300}{x}\) ঘণ্টা। ট্রেনটির সমবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে হত \((x + 5)\) কিমি/ঘন্টা। তখন দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে ট্রেনটির সময় লাগত \(\frac{300}{x + 5}\) ঘণ্টা।
সমাধান যাচাই:
\[
x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0
\]
∴ \( x = 2 \) অথবা \( 3 \)
সম্ভাব্য সংখ্যাদ্বয়: \( 28 \) (\(2\) ও \(8\)) এবং \( 39 \) (\(3\) ও \(9\))
প্রশ্ন:
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের চারিপাশে সমান চওড়ার রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার হলে রাস্তার চওড়া নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধাপ ১: সংজ্ঞায়ন
ধরি, রাস্তার চওড়া = \( x \) মিটার
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = \( 45 + 2x \) মিটার
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = \( 40 + 2x \) মিটার
Aftab Rahaman is the founder of KaliKolom.com and a content creator with 10+ years of experience in current affairs, history, and competitive exam preparation. He specializes in creating easy-to-understand, exam-focused educational content that helps students learn faster and retain better. His mission is to simplify complex topics and make learning more engaging, practical, and result-oriented for aspirants.
