Class 9 Math Koshe Dekhi 2 Solution in Bengali | WBBSE

(i) \(\left( \sqrt[5]{8} \right)^{\frac{5}{2}} \times (16)^{-\frac{3}{2}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
প্রথমে আমরা রুটের ভেতরের সংখ্যাগুলিকে সূচকের আকারে লিখব। দেখো, \(\sqrt[5]{8}\) মানে হলো \(8^{\frac{1}{5}}\)। আর ১৬ কে ভাঙলে আমরা পাই \(2^4\)। $$ = \left( 8^{\frac{1}{5}} \right)^{\frac{5}{2}} \times (2^4)^{-\frac{3}{2}} $$ সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, ব্র্যাকেট উঠলে পাওয়ারের ওপর পাওয়ার গুণ হয়ে যায়: $$ = 8^{\left(\frac{1}{5} \times \frac{5}{2}\right)} \times 2^{\left(4 \times -\frac{3}{2}\right)} $$ $$ = 8^{\frac{1}{2}} \times 2^{-6} $$ এবার ৮ কে ভেঙে \(2^3\) করি: $$ = (2^3)^{\frac{1}{2}} \times 2^{-6} = 2^{\frac{3}{2}} \times 2^{-6} $$ দুটোরই বেস (base) সমান (২) এবং তারা গুণ আকারে আছে, তাই পাওয়ারগুলো যোগ হবে: $$ = 2^{\frac{3}{2} – 6} = 2^{\frac{3 – 12}{2}} = 2^{-\frac{9}{2}} $$ উত্তর: \(2^{-\frac{9}{2}}\)

(ii) \(\left[ (125)^{-2} \times (16)^{-\frac{3}{2}} \right]^{-\frac{1}{6}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
ভেতরের সংখ্যাগুলোকে মৌলিক সংখ্যার পাওয়ারে ভাঙি। ১২৫ মানে \(5^3\) আর ১৬ মানে \(2^4\)। $$ = \left[ (5^3)^{-2} \times (2^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^{-\frac{1}{6}} $$ পাওয়ারের সাথে পাওয়ার গুণ করে দিই: $$ = \left[ 5^{-6} \times 2^{-6} \right]^{-\frac{1}{6}} $$ দেখো, ভেতরের দুটি সংখ্যারই পাওয়ার সমান (\(-6\))। তাই এদের একসাথে গুণ করে পাওয়ারটা বাইরে রাখতে পারি: $$ = \left[ (5 \times 2)^{-6} \right]^{-\frac{1}{6}} = \left[ 10^{-6} \right]^{-\frac{1}{6}} $$ মাইনাসে মাইনাসে প্লাস হয়ে যায় এবং ৬ কেটে যায়: $$ = 10^{\left(-6 \times -\frac{1}{6}\right)} = 10^1 = 10 $$ উত্তর: \(10\)

(iii) \(4^{\frac{1}{3}} \times \left[ 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \right] \div 9^{\frac{1}{4}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানে ৪ এবং ৯ কে ভাঙলে পাব \(2^2\) এবং \(3^2\)। $$ = (2^2)^{\frac{1}{3}} \times \left[ 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \right] \div (3^2)^{\frac{1}{4}} $$ $$ = 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div 3^{\frac{2}{4}} $$ \(3^{\frac{2}{4}}\) কাটাকাটি করলে \(3^{\frac{1}{2}}\) হয়। গুণের সময় নিধান এক থাকলে পাওয়ার যোগ হয় এবং ভাগের সময় বিয়োগ হয়: $$ = 2^{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)} \times 3^{\left(\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\right)} $$ $$ = 2^{\frac{3}{3}} \times 3^0 $$ যেকোনো সংখ্যার পাওয়ার ০ হলে মান ১ হয়: $$ = 2^1 \times 1 = 2 $$ উত্তর: \(2\)

(i) \(\left( \frac{8a^3}{27x^{-3}} \right)^{\frac{2}{3}} \times \left( \frac{64a^3}{27x^{-3}} \right)^{-\frac{2}{3}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
ভেতরের সংখ্যাগুলোকে কিউব (cube) বা ঘন আকারে সাজিয়ে নিই। ৮ মানে \(2^3\), ২৭ মানে \(3^3\) এবং ৬৪ মানে \(4^3\)। $$ = \left( \frac{2^3 a^3}{3^3 x^{-3}} \right)^{\frac{2}{3}} \times \left( \frac{4^3 a^3}{3^3 x^{-3}} \right)^{-\frac{2}{3}} $$ সবগুলোর পাওয়ার ৩ কমন নিয়ে বাইরের পাওয়ারের সাথে গুণ করি: $$ = \left( \frac{2a}{3x^{-1}} \right)^{3 \times \frac{2}{3}} \times \left( \frac{4a}{3x^{-1}} \right)^{3 \times -\frac{2}{3}} $$ ৩ আর ৩ কেটে গেলে থাকে: $$ = \left( \frac{2ax}{3} \right)^2 \times \left( \frac{4ax}{3} \right)^{-2} $$ মাইনাস পাওয়ার থাকলে ভগ্নাংশ উল্টে যায়: $$ = \frac{4a^2x^2}{9} \times \left( \frac{3}{4ax} \right)^2 $$ $$ = \frac{4a^2x^2}{9} \times \frac{9}{16a^2x^2} = \frac{1}{4} $$ উত্তর: \(\frac{1}{4}\)

(ii) \(\left\{ (x^{-5})^{\frac{2}{3}} \right\}^{-\frac{3}{10}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী সবকটা পাওয়ার পর পর গুণ হয়ে যাবে। $$ = x^{\left(-5 \times \frac{2}{3} \times -\frac{3}{10}\right)} $$ মাইনাসে মাইনাসে প্লাস হবে এবং কাটাকাটি করলে: $$ = x^{\frac{30}{30}} = x^1 = x $$ উত্তর: \(x\)

(iii) \(\left[ \left\{ (2^{-1})^{-1} \right\}^{-1} \right]^{-1}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানেও আগের অংকের মতোই সব পাওয়ার একসাথে গুণ হবে। $$ = 2^{(-1 \times -1 \times -1 \times -1)} $$ চারটি মাইনাস গুণ করলে প্লাস হয়ে যায়: $$ = 2^1 = 2 $$ উত্তর: \(2\)

(iv) \(\sqrt[3]{a^{-2}} \cdot b \times \sqrt[3]{b^{-2}} \cdot c \times \sqrt[3]{c^{-2}} \cdot a\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
রুট তুলে সূচকে লিখলে আমরা পাই \(\frac{1}{3}\)। $$ = a^{-\frac{2}{3}} \cdot b \times b^{-\frac{2}{3}} \cdot c \times c^{-\frac{2}{3}} \cdot a $$ একই বেসগুলোকে (a, b, c) একসাথে এনে গুণের নিয়মে পাওয়ার যোগ করি: $$ = a^{\left(1 – \frac{2}{3}\right)} \cdot b^{\left(1 – \frac{2}{3}\right)} \cdot c^{\left(1 – \frac{2}{3}\right)} $$ $$ = a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot c^{\frac{1}{3}} $$ সবগুলোর পাওয়ার এক, তাই হোল পাওয়ার করা যায়: $$ = (abc)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{abc} $$ উত্তর: \(\sqrt[3]{abc}\)

(v) \(\left( \frac{4^{m+\frac{1}{4}} \times \sqrt{2 \cdot 2^m}}{2 \cdot \sqrt{2^{-m}}} \right)^{\frac{1}{m}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
সবগুলোকে ২-এর বেসে (base) ভাঙতে হবে। ৪ মানে \(2^2\) এবং রুট মানে পাওয়ার \(\frac{1}{2}\)। $$ = \left( \frac{(2^2)^{m+\frac{1}{4}} \times (2^{1+m})^{\frac{1}{2}}}{2^1 \cdot (2^{-m})^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{1}{m}} $$ $$ = \left( \frac{2^{2m+\frac{2}{4}} \times 2^{\frac{1+m}{2}}}{2^1 \cdot 2^{-\frac{m}{2}}} \right)^{\frac{1}{m}} $$ ওপরের পাওয়ার যোগ এবং নীচের পাওয়ার বিয়োগ হবে: $$ = \left( 2^{\left(2m + \frac{1}{2} + \frac{1+m}{2} – 1 – (-\frac{m}{2})\right)} \right)^{\frac{1}{m}} $$ লব ও হরের পাওয়ার সরল করলে: $$ = \left( 2^{\frac{4m + 1 + 1 + m – 2 + m}{2}} \right)^{\frac{1}{m}} = \left( 2^{\frac{6m}{2}} \right)^{\frac{1}{m}} = (2^{3m})^{\frac{1}{m}} $$ পাওয়ার গুণ হলে \(m\) কেটে যাবে: $$ = 2^{3m \times \frac{1}{m}} = 2^3 = 8 $$ উত্তর: \(8\)

(vi) \(\frac{9^{-3} \times 16^{\frac{1}{4}}}{6^{-2} \times \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
সব সংখ্যাগুলোকে মৌলিক সংখ্যা ২ এবং ৩-এর বেসে ভেঙে ফেলি। ৯ মানে \(3^2\), ১৬ মানে \(2^4\), ৬ মানে \(2 \times 3\) এবং ২৭ মানে \(3^3\)। $$ = \frac{(3^2)^{-3} \times (2^4)^{\frac{1}{4}}}{(2 \times 3)^{-2} \times (3^{-3})^{-\frac{4}{3}}} $$ পাওয়ারের সাথে পাওয়ার গুণ করি: $$ = \frac{3^{-6} \times 2^1}{2^{-2} \times 3^{-2} \times 3^4} $$ নিচের ৩-এর পাওয়ারগুলো আগে যোগ করি: \(-2 + 4 = 2\)। $$ = \frac{3^{-6} \times 2^1}{2^{-2} \times 3^2} $$ এবার ভাগের নিয়মে নিচের পাওয়ার ওপরে নিয়ে গিয়ে বিয়োগ করি: $$ = 3^{-6 – 2} \times 2^{1 – (-2)} $$ $$ = 3^{-8} \times 2^3 = \frac{8}{3^8} = \frac{8}{6561} $$ উত্তর: \(\frac{8}{6561}\)

(vii) \(\left( \frac{x^a}{x^b} \right)^{a^2 + ab + b^2} \times \left( \frac{x^b}{x^c} \right)^{b^2 + bc + c^2} \times \left( \frac{x^c}{x^a} \right)^{c^2 + ca + a^2}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
প্রথমে ব্র্যাকেটের ভেতরের ভাগের কাজ করি, ভাগের সময় পাওয়ার বিয়োগ হয়। $$ = (x^{a-b})^{a^2 + ab + b^2} \times (x^{b-c})^{b^2 + bc + c^2} \times (x^{c-a})^{c^2 + ca + a^2} $$ আমরা জানি, \((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 – b^3\)। এই সূত্রটি এখানে সরাসরি প্রয়োগ করব: $$ = x^{a^3 – b^3} \times x^{b^3 – c^3} \times x^{c^3 – a^3} $$ এবার গুণের নিয়মে বেস সমান থাকায় সব পাওয়ার যোগ হয়ে যাবে: $$ = x^{(a^3 – b^3) + (b^3 – c^3) + (c^3 – a^3)} $$ সবগুলো পাওয়ার কেটে গিয়ে শূন্য হয়ে যাবে: $$ = x^0 = 1 $$ উত্তর: \(1\)

(i) \(5^{\frac{1}{2}}, 10^{\frac{1}{4}}, 6^{\frac{1}{3}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
ছোট থেকে বড় সাজাতে হলে পাওয়ারের হরগুলোর (2, 4, 3) লসাগু বের করতে হবে। লসাগু = ১২। এবার সবাইকে ১২-এর হরে প্রকাশ করি:
\(5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{6}{12}} = (5^6)^{\frac{1}{12}} = (15625)^{\frac{1}{12}}\)
\(10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = (10^3)^{\frac{1}{12}} = (1000)^{\frac{1}{12}}\)
\(6^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{4}{12}} = (6^4)^{\frac{1}{12}} = (1296)^{\frac{1}{12}}\)
ভেতরের সংখ্যাগুলোর মধ্যে তুলনা করলে দেখি: \(1000 < 1296 < 15625\)।
উত্তর (ঊর্ধ্বক্রমানুসারে): \(10^{\frac{1}{4}} < 6^{\frac{1}{3}} < 5^{\frac{1}{2}}\)

(ii) \(3^{\frac{1}{3}}, 2^{\frac{1}{2}}, 8^{\frac{1}{4}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
আগের মতোই পাওয়ারের হরগুলোর (3, 2, 4) লসাগু = ১২।
\(3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{12}} = (3^4)^{\frac{1}{12}} = (81)^{\frac{1}{12}}\)
\(2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{6}{12}} = (2^6)^{\frac{1}{12}} = (64)^{\frac{1}{12}}\)
\(8^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{3}{12}} = (8^3)^{\frac{1}{12}} = (512)^{\frac{1}{12}}\)
যেহেতু \(64 < 81 < 512\)।
উত্তর (ঊর্ধ্বক্রমানুসারে): \(2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}} < 8^{\frac{1}{4}}\)

(iii) \(2^{60}, 3^{48}, 4^{36}, 5^{24}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানে পাওয়ারগুলো ভগ্নাংশে নেই, তাই পাওয়ারগুলোর গ.সা.গু (HCF) বের করব। 60, 48, 36 এবং 24 এর গ.সা.গু হলো 12। এবার সব পাওয়ারকে 12 এর গুণিতকে ভাঙব:
\(2^{60} = 2^{5 \times 12} = (2^5)^{12} = 32^{12}\)
\(3^{48} = 3^{4 \times 12} = (3^4)^{12} = 81^{12}\)
\(4^{36} = 4^{3 \times 12} = (4^3)^{12} = 64^{12}\)
\(5^{24} = 5^{2 \times 12} = (5^2)^{12} = 25^{12}\)
ব্র্যাকেটের ভেতরের মানগুলোর তুলনা করলে দেখি: \(25 < 32 < 64 < 81\)।
উত্তর (ঊর্ধ্বক্রমানুসারে): \(5^{24} < 2^{60} < 4^{36} < 3^{48}\)

(i) \(\left( \frac{a^q}{a^r} \right)^p \times \left( \frac{a^r}{a^p} \right)^q \times \left( \frac{a^p}{a^q} \right)^r = 1\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
ভাগের সময় পাওয়ার বিয়োগ হয়, এটা আমরা জানি। বামপক্ষ (LHS) ধরে এগোই: $$ \text{LHS} = (a^{q-r})^p \times (a^{r-p})^q \times (a^{p-q})^r $$ এবার ব্র্যাকেটের বাইরের পাওয়ার ভেতরের সাথে গুণ করে দেব: $$ = a^{pq – pr} \times a^{rq – pq} \times a^{pr – qr} $$ যেহেতু বেস সবার \(a\), তাই গুণের সময় সব পাওয়ার যোগ হবে: $$ = a^{(pq – pr + rq – pq + pr – qr)} = a^0 = 1 = \text{RHS} $$ (প্রমাণিত)

(ii) \(\left( \frac{x^m}{x^n} \right)^{m+n} \times \left( \frac{x^n}{x^l} \right)^{n+l} \times \left( \frac{x^l}{x^m} \right)^{l+m} = 1\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
আগেরটার মতোই প্রথমে ভাগের জন্য পাওয়ার বিয়োগ করব। $$ \text{LHS} = (x^{m-n})^{m+n} \times (x^{n-l})^{n+l} \times (x^{l-m})^{l+m} $$ এখানে দেখো, \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\) সূত্র তৈরি হয়েছে: $$ = x^{m^2-n^2} \times x^{n^2-l^2} \times x^{l^2-m^2} $$ সব পাওয়ার যোগ করে দিই: $$ = x^{(m^2 – n^2 + n^2 – l^2 + l^2 – m^2)} = x^0 = 1 = \text{RHS} $$ (প্রমাণিত)

(iii) \(\left( \frac{x^m}{x^n} \right)^{m+n-l} \times \left( \frac{x^n}{x^l} \right)^{n+l-m} \times \left( \frac{x^l}{x^m} \right)^{l+m-n} = 1\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
প্রথমে ভাগের নিয়মে ভেতরের পাওয়ার বিয়োগ করি: $$ \text{LHS} = (x^{m-n})^{m+n-l} \times (x^{n-l})^{n+l-m} \times (x^{l-m})^{l+m-n} $$ এবার বাইরের পাওয়ারের সাথে গুণ করি এবং সব বেস \(x\) হওয়ায় একসঙ্গে যোগ করে দিই: $$ = x^{(m-n)(m+n-l) + (n-l)(n+l-m) + (l-m)(l+m-n)} $$ গুণফলগুলো ভেঙে যোগ করলে দেখো সব পদ একে অপরের সাথে কেটে যাবে: $$ = x^{(m^2-n^2-ml+nl) + (n^2-l^2-nm+lm) + (l^2-m^2-ln+mn)} $$ $$ = x^0 = 1 = \text{RHS} $$ (প্রমাণিত)

(iv) \(\left( a^{\frac{1}{x-y}} \right)^{\frac{1}{x-z}} \times \left( a^{\frac{1}{y-z}} \right)^{\frac{1}{y-x}} \times \left( a^{\frac{1}{z-x}} \right)^{\frac{1}{z-y}} = 1\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
পাওয়ারগুলো পরপর গুণ হয়ে যাবে: $$ \text{LHS} = a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)}} \times a^{\frac{1}{(y-z)(y-x)}} \times a^{\frac{1}{(z-x)(z-y)}} $$ হরের রাশিগুলোকে চক্রাকারে (cyclic order) সাজানোর জন্য মাইনাস কমন নেব: $$ = a^{-\frac{1}{(x-y)(z-x)}} \times a^{-\frac{1}{(y-z)(x-y)}} \times a^{-\frac{1}{(z-x)(y-z)}} $$ সবগুলো পাওয়ার যোগ করে ল.সা.গু \((x-y)(y-z)(z-x)\) করলে ওপরের লব হবে \(y-z + z-x + x-y = 0\)। $$ = a^{-\left[ \frac{(y-z) + (z-x) + (x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)} \right]} $$ $$ = a^0 = 1 = \text{RHS} $$ (প্রমাণিত)

৫. \(x + z = 2y\) এবং \(b^2 = ac\) হলে, দেখাই যে, \(a^{y-z}b^{z-x}c^{x-y} = 1\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
দেওয়া আছে \(b^2 = ac\), তার মানে \(b = (ac)^{\frac{1}{2}}\)। এই মানটা আমরা বসাব। $$ \text{LHS} = a^{y-z} \cdot \left( (ac)^{\frac{1}{2}} \right)^{z-x} \cdot c^{x-y} $$ $$ = a^{y-z} \cdot a^{\frac{z-x}{2}} \cdot c^{\frac{z-x}{2}} \cdot c^{x-y} $$ \(a\) এবং \(c\)-এর পাওয়ারগুলো আলাদাভাবে যোগ করি: $$ = a^{\left(y-z + \frac{z-x}{2}\right)} \cdot c^{\left(x-y + \frac{z-x}{2}\right)} $$ লসাগু করে যোগ করলে পাব: $$ = a^{\frac{2y-2z+z-x}{2}} \cdot c^{\frac{2x-2y+z-x}{2}} = a^{\frac{2y-x-z}{2}} \cdot c^{\frac{x-2y+z}{2}} $$ এবার প্রশ্নে দেওয়া আছে \(2y = x + z\), তাই \(2y – x – z = 0\) এবং \(x + z – 2y = 0\)। $$ = a^{\frac{0}{2}} \cdot c^{\frac{0}{2}} = a^0 \cdot c^0 = 1 \times 1 = 1 = \text{RHS} $$ (প্রমাণিত)

৬. \(a = xy^{p-1}, b = xy^{q-1}\) এবং \(c = xy^{r-1}\) হলে, দেখাই যে, \(a^{q-r}b^{r-p}c^{p-q} = 1\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
বামপক্ষে a, b, c এর মানগুলো বসিয়ে দিই: $$ \text{LHS} = (xy^{p-1})^{q-r} \cdot (xy^{q-1})^{r-p} \cdot (xy^{r-1})^{p-q} $$ বাইরের পাওয়ার ভেতরে গুণ করে দিই: $$ = (x^{q-r} \cdot y^{(p-1)(q-r)}) \cdot (x^{r-p} \cdot y^{(q-1)(r-p)}) \cdot (x^{p-q} \cdot y^{(r-1)(p-q)}) $$ এবার \(x\) এর পাওয়ারগুলো একসাথে এবং \(y\) এর পাওয়ারগুলো একসাথে যোগ করি: \(x\) এর পাওয়ার: \((q-r) + (r-p) + (p-q) = 0\) \(y\) এর পাওয়ার: \((pq – pr – q + r) + (qr – pq – r + p) + (pr – qr – p + q) = 0\) $$ = x^0 \cdot y^0 = 1 \times 1 = 1 = \text{RHS} $$ (প্রমাণিত)

৭. \(x^{\frac{1}{a}} = y^{\frac{1}{b}} = z^{\frac{1}{c}}\) এবং \(xyz = 1\) হলে, দেখাই যে, \(a + b + c = 0\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
ধরি, \(x^{\frac{1}{a}} = y^{\frac{1}{b}} = z^{\frac{1}{c}} = k \ (k \neq 0)\)। তাহলে, \(x = k^a\), \(y = k^b\) এবং \(z = k^c\)। দেওয়া আছে, \(xyz = 1\) $$ k^a \cdot k^b \cdot k^c = 1 $$ $$ k^{a+b+c} = k^0 $$ (যেহেতু যেকোনো কিছুর পাওয়ার ০ হলে মান ১ হয়) উভয়পক্ষের নিধান (k) সমান হওয়ায় পাওয়ারগুলো সমান হবে: $$ a + b + c = 0 $$ (প্রমাণিত)

৮. \(a^x = b^y = c^z\) এবং \(abc = 1\) হলে, দেখাই যে, \(xy + yz + zx = 0\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
একইভাবে ধরি, \(a^x = b^y = c^z = k \ (k \neq 0)\)। তাহলে, \(a = k^{\frac{1}{x}}\), \(b = k^{\frac{1}{y}}\) এবং \(c = k^{\frac{1}{z}}\)। দেওয়া আছে, \(abc = 1\) $$ k^{\frac{1}{x}} \cdot k^{\frac{1}{y}} \cdot k^{\frac{1}{z}} = 1 $$ $$ k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = k^0 $$ পাওয়ারগুলো তুলনা করে পাই: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 $$ লসাগু (\(xyz\)) করলে: $$ \frac{yz + zx + xy}{xyz} = 0 \implies xy + yz + zx = 0 $$ (প্রমাণিত)

(i) \(49^x = 7^3\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
আমাদের দুই দিকের বেস সমান করতে হবে। ৪৯ কে \(7^2\) লিখি। $$ (7^2)^x = 7^3 \implies 7^{2x} = 7^3 $$ দুই দিকের বেস এক হলে পাওয়ার সমান হয়: $$ 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} $$

(ii) \(2^{x+2} + 2^{x-1} = 9\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
পাওয়ারগুলোকে ভেঙে নিই। $$ 2^x \cdot 2^2 + 2^x \cdot 2^{-1} = 9 $$ \(2^x\) কমন নিলে: $$ 2^x \left(4 + \frac{1}{2}\right) = 9 \implies 2^x \left(\frac{9}{2}\right) = 9 $$ $$ 2^x = 9 \times \frac{2}{9} \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1 $$

(iii) \(2^{x+1} + 2^{x+2} = 48\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
একইভাবে পাওয়ার ভেঙে \(2^x\) কমন নিই: $$ 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^2 = 48 $$ $$ 2^x (2 + 4) = 48 \implies 2^x \times 6 = 48 $$ $$ 2^x = \frac{48}{6} = 8 $$ ৮ মানে হলো \(2^3\): $$ 2^x = 2^3 \implies x = 3 $$

(iv) \(2^{4x} \cdot 4^{3x-1} = \frac{4^{2x}}{2^{3x}}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
সবগুলোকে ২-এর বেসে নিয়ে আসব। ৪ মানে \(2^2\)। $$ 2^{4x} \cdot (2^2)^{3x-1} = \frac{(2^2)^{2x}}{2^{3x}} $$ $$ 2^{4x} \cdot 2^{6x-2} = \frac{2^{4x}}{2^{3x}} $$ বামদিকে গুণের জন্য পাওয়ার যোগ এবং ডানদিকে ভাগের জন্য বিয়োগ হবে: $$ 2^{4x + 6x – 2} = 2^{4x – 3x} $$ $$ 2^{10x – 2} = 2^x $$ বেস সমান তাই পাওয়ার সমান হবে: $$ 10x – 2 = x \implies 9x = 2 \implies x = \frac{2}{9} $$

(v) \(9 \times 81^x = 27^{2-x}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
সবগুলোকে ৩-এর বেসে ভাঙব। \(9 = 3^2, 81 = 3^4, 27 = 3^3\)। $$ 3^2 \times (3^4)^x = (3^3)^{2-x} $$ $$ 3^2 \times 3^{4x} = 3^{6-3x} $$ গুণের নিয়মে পাওয়ার যোগ করি: $$ 3^{2+4x} = 3^{6-3x} $$ পাওয়ার তুলনা করে পাই: $$ 2 + 4x = 6 – 3x $$ $$ 4x + 3x = 6 – 2 \implies 7x = 4 \implies x = \frac{4}{7} $$

(vi) \(2^{5x+4} + 2^9 = 2^{10}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
\(2^9\) কে ডানদিকে নিয়ে গিয়ে বিয়োগ করব: $$ 2^{5x+4} = 2^{10} – 2^9 $$ ডানদিক থেকে \(2^9\) কমন নিই: $$ 2^{5x+4} = 2^9 (2^1 – 1) = 2^9 \times 1 = 2^9 $$ পাওয়ার তুলনা করে পাই: $$ 5x + 4 = 9 \implies 5x = 5 \implies x = 1 $$

(vii) \(6^{2x+4} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8}\)

ব্যাখ্যা ও সমাধান:
৬ কে ভেঙে \(2 \times 3\) করব: $$ (2 \times 3)^{2x+4} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8} $$ $$ 2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8} $$ ২-এর পদগুলোকে একদিকে এবং ৩-এর পদগুলোকে অন্যদিকে নিয়ে যাই: $$ \frac{2^{2x+4}}{2^{x+8}} = \frac{3^{3x}}{3^{2x+4}} $$ ভাগের নিয়মে পাওয়ার বিয়োগ হবে: $$ 2^{(2x+4) – (x+8)} = 3^{3x – (2x+4)} $$ $$ 2^{x-4} = 3^{x-4} $$ যেহেতু ২ এবং ৩ পরস্পর মৌলিক সংখ্যা, তাই এদের পাওয়ার তখনই সমান হবে যখন পাওয়ারের মান শূন্য হবে: $$ x – 4 = 0 \implies x = 4 $$

(i) \((27)^x = (81)^y\) হলে, \(x : y\) কত হয় লিখি।
$$ (3^3)^x = (3^4)^y \implies 3^{3x} = 3^{4y} $$ পাওয়ার তুলনা করে: $$ 3x = 4y \implies \frac{x}{y} = \frac{4}{3} \implies x : y = 4 : 3 $$

(ii) \((5^5 + 0.01)^2 – (5^5 – 0.01)^2 = 5^x\) হলে, \(x\) -এর মান কত?
বীজগণিতের সূত্র: \((a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab\)। $$ 4 \times 5^5 \times 0.01 = 5^x $$ $$ 4 \times 5^5 \times \frac{1}{100} = 5^x $$ $$ \frac{5^5}{25} = 5^x \implies \frac{5^5}{5^2} = 5^x \implies 5^{5-2} = 5^x \implies 5^3 = 5^x $$ সুতরাং, \(x = 3\)।

(iii) \(3 \times 27^x = 9^{x+4}\) হলে, \(x\) -এর মান কত?
$$ 3^1 \times (3^3)^x = (3^2)^{x+4} \implies 3^{1+3x} = 3^{2x+8} $$ $$ 1 + 3x = 2x + 8 \implies 3x – 2x = 8 – 1 \implies x = 7 $$

(iv) \(\sqrt[3]{\left( \frac{1}{64} \right)^{\frac{1}{2}}}\) -এর মান কত?
$$ = \left( \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{6}} = \left( \left(\frac{1}{2}\right)^6 \right)^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{2} $$

(v) \(3^{3^3}\) এবং \((3^3)^3\) -এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তর?
প্রথম রাশি: \(3^{3^3} = 3^{27}\)
দ্বিতীয় রাশি: \((3^3)^3 = 3^{3 \times 3} = 3^9\)
যেহেতু পাওয়ার ২৭ > ৯, তাই \(3^{3^3}\) বৃহত্তর।