Koshe Dekhi 1.1 | নবম শ্রেণির গণিত প্রকাশ | বাস্তব সংখ্যা
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) Class 9 গণিত প্রকাশ বইয়ের Chapter 1 বাস্তব সংখ্যা এর কষে দেখি ১.১ (Koshe Dekhi 1.1)-এর সম্পূর্ণ সমাধান।
কষে দেখি 1.1 (Koshe Dekhi 1.1)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণির গণিত প্রকাশ বইয়ের অধ্যায় ১ (বাস্তব সংখ্যা) এর ‘কষে দেখি ১.১’ এর সম্পূর্ণ সমাধান।
আজকে থেকে আমরা শুরু করতে চলেছি Class 9 এর অঙ্ক। প্রথমেই আমরা শুরু করব ১ নম্বর অধ্যায় থেকে, যার নাম হলো বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)। এই পোস্টে আমরা তোমাদের বইয়ের ‘কষে দেখি 1.1’ এর প্রত্যেকটি অঙ্ক খুব সুন্দরভাবে ধাপে ধাপে বুঝে নেব। তোমরা যারা অঙ্ক নিয়ে একটু ভয় পাও, একদম চিন্তা করবে না! চলো, খাতা কলম নিয়ে বসে পড়ো।
দেখো, মূলদ সংখ্যা বা Rational Number কথার মানে কী? চলো একদম সহজ ভাষায় সংজ্ঞাটা দেখে নিই:
মূলদ সংখ্যা (Rational Number): যে সকল সংখ্যাকে pq আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p এবং q দুটি পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, তাদের মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
৪ টি মূলদ সংখ্যার উদাহরণ হলো:
- 23
- – 57
- 4 (কারণ 4 = 41)
- 0 (কারণ 0 = 01)
হ্যাঁ, অবশ্যই! 0 একটি মূলদ সংখ্যা। চলো বুঝে নিই কেন এটা মূলদ সংখ্যার সমস্ত শর্ত পূরণ করছে:
0-কে pq আকারে প্রকাশ করলে পাই:
0 = 01
এখানে p = 0 এবং q = 1।
দেখা যাচ্ছে, 0 এবং 1 উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 (অর্থাৎ হর শূন্য নয়)। এছাড়াও 0 এবং 1 -এর মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যার সমস্ত শর্ত পূরণ করে।
(i) 7 (ii) -4 (iii) 35 (iv) 92 (v) 29 (vi) 115 (vii) – 134
সংখ্যারেখায় বা Number line-এ সংখ্যা বসানোটা একদম সহজ ব্যাপার। চলো একটা একটা করে পর পর দেখে নিই কীভাবে এগুলো বসবে:
(i) 7 কে সংখ্যারেখায় স্থাপন:
0 থেকে ডানদিকে 7 ঘর এগোলে 7 বিন্দুটি পাওয়া যায়।
(ii) -4 কে সংখ্যারেখায় স্থাপন:
0 থেকে বাঁদিকে 4 ঘর এগোলে -4 বিন্দুটি পাওয়া যায়。
(iii) 35 কে সংখ্যারেখায় স্থাপন:
35 সংখ্যাটি 0 এবং 1 এর মধ্যবর্তী। 0 থেকে 1 এর মাঝের অংশকে 5টি সমান ভাগে ভাগ করে তার 3 নম্বর ভাগটি হলো 35।
(iv) 92 কে সংখ্যারেখায় স্থাপন:
92 = 4.5। সংখ্যাটি 4 এবং 5 এর ঠিক মাঝখানে অবস্থিত।
(v) 29 কে সংখ্যারেখায় স্থাপন:
29 সংখ্যাটি 0 এবং 1 এর মধ্যবর্তী। 0 থেকে 1 এর মাঝের অংশকে 9টি সমান ভাগে ভাগ করে তার 2 নম্বর ভাগটি হলো 29।
(vi) 115 কে সংখ্যারেখায় স্থাপন:
115 = 2.2। সংখ্যাটি 2 এবং 3 এর মাঝে অবস্থিত।
(vii) – 134 কে সংখ্যারেখায় স্থাপন:
– 134 = -3.25। সংখ্যাটি -3 এবং -4 এর মাঝে অবস্থিত।
দুটি সংখ্যার মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা বের করার সবচেয়ে সোজা নিয়ম হলো একটা সূত্র ব্যবহার করা। সূত্রটা একবার দেখে নিলে আর ভুলবে না:
(সূত্র: x ও y দুটি মূলদ সংখ্যা হলে, তাদের মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো x + y2 )
(i) 4 ও 5 এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা:
সংখ্যাটি হলো = 4 + 52 = 92 = 4.5
(ii) 1 ও 2 এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা:
সংখ্যাটি হলো = 1 + 22 = 32 = 1.5
(iii) 14 ও 12 এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা:
সংখ্যাটি হলো = 14 + 122 = 38
(iv) -1 ও 12 এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা:
সংখ্যাটি হলো = -1 + 122 = – 14
(v) 14 ও 13 এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা:
সংখ্যাটি হলো = 14 + 132 = 724
(vi) -2 ও -1 এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা:
সংখ্যাটি হলো = -2 + (-1)2 = – 32
তাহলে দেখো, পাঁচের দাগের অঙ্কতে আমাদের ৪ আর ৫ এর মধ্যবর্তী ৩টি মূলদ সংখ্যা বের করতে হবে। প্রথম সংখ্যাটাকে আমরা ধরে নেব x, আর দ্বিতীয় সংখ্যাটাকে ধরে নেব y। আর যতগুলো মূলদ সংখ্যা বের করতে বলবে তাকে আমরা ধরে নেব n। এবারে আমরা d বের করার একটা সূত্র অ্যাপ্লাই করবো, সূত্রটা হলো d = (y – x) / (n + 1)। চলো দেখে নিই:
এখানে প্রথম সংখ্যা x = 4, দ্বিতীয় সংখ্যা y = 5 এবং n = 3 (যেহেতু 3টি সংখ্যা বের করতে হবে)।
আমরা জানি, d = y – xn + 1
∴ d = 5 – 43 + 1 = 14
অতএব, ৪ ও ৫ এর মধ্যবর্তী ৩টি মূলদ সংখ্যা হলো:
x + d = 4 + 14 = 16 + 14 = 174
x + 2d = 4 + 2(14) = 4 + 24 = 16 + 24 = 184
x + 3d = 4 + 3(14) = 4 + 34 = 16 + 34 = 194
অর্থাৎ সংখ্যাগুলো হলো 174, 184 এবং 194। এদেরকে মিশ্র ভগ্নাংশে করলে পাবো ৪ পূর্ণ ১/৪, ৪ পূর্ণ ২/৪ এবং ৪ পূর্ণ ৩/৪, যা সংখ্যারেখায় ৪ আর ৫ এর মাঝখানেই বসবে।
ছয়ের দাগের অংকটাও একদম একই রকম। এখানেও আমরা সেইম সূত্র অ্যাপ্লাই করবো। আমাদের বলেছে ১ আর ২ এর মাঝে ৬টা মূলদ সংখ্যা বের করতে। তাহলে x হবে ১, y হবে ২ আর n হবে ৬। চলো পরপর করে ফেলি:
এখানে x = 1, y = 2 এবং n = 6 (যেহেতু 6টি মূলদ সংখ্যা বের করতে হবে)।
সূত্র অনুযায়ী, d = y – xn + 1
∴ d = 2 – 16 + 1 = 17
অতএব, ১ ও ২ এর মধ্যবর্তী ৬টি মূলদ সংখ্যা হলো:
x + d = 1 + 17 = 7 + 17 = 87
x + 2d = 1 + 2(17) = 1 + 27 = 7 + 27 = 97
x + 3d = 1 + 3(17) = 1 + 37 = 7 + 37 = 107
x + 4d = 1 + 4(17) = 1 + 47 = 7 + 47 = 117
x + 5d = 1 + 5(17) = 1 + 57 = 7 + 57 = 127
x + 6d = 1 + 6(17) = 1 + 67 = 7 + 67 = 137
এবারে দেখো সাতের দাগে ভগ্নাংশ দেওয়া আছে। কিন্তু চিন্তার কিছু নেই, এখানেও আমরা ওই একই d-এর সূত্র দিয়েই অঙ্কটা সলভ করবো। x এর জায়গায় লিখবো ১/৫ আর y এর জায়গায় লিখবো ১/৪। চলো দেখা যাক:
এখানে x = 15, y = 14 এবং n = 3 (যেহেতু 3টি সংখ্যা বের করতে হবে)।
আমরা জানি, d = y – xn + 1
∴ d = 14 – 153 + 1 = 5 – 4204 = 1204 = 180
অতএব, ৩টি মূলদ সংখ্যা হলো:
x + d = 15 + 180 = 16 + 180 = 1780
x + 2d = 15 + 2(180) = 15 + 280 = 16 + 280 = 1880
x + 3d = 15 + 3(180) = 15 + 380 = 16 + 380 = 1980
উত্তর: 1780, 1880, 1980
(i) দুটি পূর্ণসংখ্যা যোগ, বিয়োগ ও গুণ করে পূর্ণসংখ্যা পাই।
প্রথমে আমাদের জানতে হবে যে পূর্ণসংখ্যা কী। পূর্ণসংখ্যা মানে হলো 0, 1, 2, 3… এবং -1, -2, -3… এইগুলো। ভাবো আমি দুটো পূর্ণসংখ্যা নিলাম, 4 আর 1। যোগ করলে পাব 5 (পূর্ণসংখ্যা), বিয়োগ করলে পাব 3 (পূর্ণসংখ্যা), গুণ করলে পাব 4 (পূর্ণসংখ্যা)। তাহলে যোগ, বিয়োগ, গুণ করে আমরা সবসময় পূর্ণসংখ্যাই পাবো। তাহলে এই বক্তব্যটি হলো সত্য।
উত্তর: সত্য (T)
(ii) দুটি পূর্ণসংখ্যা ভাগ করে সর্বদাই পূর্ণসংখ্যা পাই।
ভাবো 8 কে 2 দিয়ে ভাগ করলাম, পেলাম 4 (পূর্ণসংখ্যা)। কিন্তু 8 কে যদি 5 দিয়ে ভাগ করি? তাহলে কি পূর্ণসংখ্যা পাবো? পাবো না, 8/5 একটা ভগ্নাংশ থেকে যাবে। তাহলে সর্বদাই যে পূর্ণসংখ্যা পাবো এরকম কোনো কথা নেই। তাই এই বক্তব্যটি হলো মিথ্যা।
উত্তর: মিথ্যা (F)
নয়ের দাগে বলেছে দুটো মূলদ সংখ্যা নিয়ে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করলে কী পাবো? ভাবো আমি দুটো মূলদ সংখ্যা নিলাম 6 আর 12। যোগ করলে পাবো 18 (যেটাকে 18/1 লেখা যায়, মানে মূলদ)। বিয়োগ করলে পাবো -6 (-6/1, মানে মূলদ)। গুণ করলে পাবো 72 (72/1, মানে মূলদ)। আর ভাগ করলে পাবো 12/6 = 2 (2/1, মানে মূলদ)। তাহলে দুটো মূলদ সংখ্যাকে যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করলে আমরা সর্বদা একটি মূলদ সংখ্যাই পাবো।
উত্তর: দুটি মূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ (ভাজক শূন্য না হলে) করলে সর্বদা একটি মূলদ সংখ্যা-ই পাওয়া যায়।
আশা করি পুরো অধ্যায়টা তোমরা খুব সহজে বুঝতে পেরেছ! অঙ্ক নিয়ে তোমাদের আর কোনো ভয় থাকবে না। এভাবেই আমরা ধাপে ধাপে পুরো বইটা শেষ করব। তোমাদের প্র্যাকটিসের সুবিধার জন্য এই পেজটি বুকমার্ক করে রাখতে পারো!
