আজকে আমরা কষে দেখি ১.২ শুরু করব। আগের কষে দেখি 1.1 আমি বাস্তব সংখ্যা নিয়ে বলেছিলাম, আজ আমরা অমূলদ সংখ্যা নিয়ে কথা বলব। তোমরা যারা আমার আর্টিকেল গুলো ফলো করছ, খাতা আর স্কেল-কম্পাস নিয়ে বসে পড়ো, আমি একদম পিথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে সহজে বুঝিয়ে দিচ্ছি!

---

দেখো, যে কোনো দুটো মূলদ সংখ্যা নাও। ধরো ২ আর ৩, যোগ করলে ৫ হবে, যা মূলদ। তাই এটা সত্য।

এটা কিন্তু ঠিক নয়। ধরো একটা অমূলদ সংখ্যা √3 আর একটা -√3। এদের যোগ করলে কত হয়? 0 হয়! আর 0 তো মূলদ সংখ্যা। তাই সমষ্টি সর্বদা অমূলদ হবে না।

হ্যাঁ, দুটো মূলদ সংখ্যাকে গুণ করলে তুমি সব সময় মূলদ সংখ্যাই পাবে।

এটাও মিথ্যা। কারণ √2 আর √2 গুণ করলে 2 হয় (যা মূলদ)। কিন্তু √2 আর √3 গুণ করলে √6 হয় (যা অমূলদ)। তাই সব সময় মূলদ হয় না।

বাস্তব সংখ্যা মানে কী? একটা বড় থলি, যার ভেতর মূলদ আর অমূলদ দুটোরই জায়গা আছে। তাই মূলদ সংখ্যা অবশ্যই বাস্তব সংখ্যা।

না! বাস্তব সংখ্যার ভেতর তো মূলদ সংখ্যাও আছে। তাহলে সব বাস্তব সংখ্যা অমূলদ হবে কী করে? ৫ একটা বাস্তব সংখ্যা, কিন্তু সেটা অমূলদ নয়।

সহজ কথায়, যে সংখ্যাগুলোকে আমরা p/q আকারে লিখতে পারি না, অর্থাৎ রুটের ভেতর থেকে যাদের গোটা সংখ্যা হিসেবে বাইরে বের করা যায় না, তারাই হলো অমূলদ সংখ্যা বা Irrational Number।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সকল সংখ্যাকে pq আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p এবং q দুটি পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, তাদের অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।

এখানে একটা ট্রিক আছে। রুটের ভেতরের সংখ্যাটা যদি পূর্ণবর্গ হয় (যেমন 9 মানে 3×3), তাহলে রুটের বাইরে এলে সেটা মূলদ হয়ে যাবে। আর যদি পূর্ণবর্গ না হয়, তাহলে অমূলদই থেকে যাবে। চলো দেখে নিই:

• (i) √9 = 3 → মূলদ সংখ্যা
• (ii) √225 = 15 → মূলদ সংখ্যা
• (iii) √7 → অমূলদ সংখ্যা (পূর্ণবর্গ নয়)
• (iv) √50 = √(25 × 2) = 5√2 → অমূলদ সংখ্যা
• (v) √100 = 10 → মূলদ সংখ্যা
• (vi) -√81 = -9 → মূলদ সংখ্যা
• (vii) √42 → অমূলদ সংখ্যা
• (viii) √29 → অমূলদ সংখ্যা
• (ix) -√1000 = -10√10 → অমূলদ সংখ্যা

বন্ধুরা, সংখ্যারেখায় √5 বসানোর জন্য আমাদের পিথাগোরাসের উপপাদ্য কাজে লাগাতে হবে। আমরা এমন একটা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকবো যার ভূমি ২ একক এবং লম্ব ১ একক। তাহলেই অতিভুজ হবে √5। চলো ধাপে ধাপে দেখে নিই:

1. প্রথমে একটা সংখ্যারেখা টেনে তার উপর O বিন্দুতে শূন্য (0) চিহ্নিত করলাম। এবার ডানদিকে ২ ঘর গিয়ে A বিন্দু (২ একক) নিলাম।
2. A বিন্দুর ওপর লম্ব AB আঁকলাম, যার দৈর্ঘ্য ১ একক।
3. এখন O আর B বিন্দু যোগ করলাম। পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী ∆OAB সমকোণী ত্রিভুজে:
   OB = √(OA² + AB²) = √(2² + 1²) = √(4 + 1) = √5 একক।
4. সবশেষে, O বিন্দুতে কম্পাস বসিয়ে OB এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটা বৃত্তচাপ কাটলাম, যা সংখ্যারেখাকে P বিন্দুতে ছেদ করল।

√3 বের করতে গেলে সরাসরি করা যায় না, প্রথমে আমাদের √2 বের করে নিতে হবে। তারপর সেই √2 অতিভুজের ওপর লম্ব টেনে √3 পাবো। এটাকে শামুকের খোলসের মতো ধাপে ধাপে এগোতে হয়।

1. প্রথমে সংখ্যারেখায় O (0) থেকে ডানদিকে OA = ১ একক নিলাম এবং A বিন্দুতে ১ এককের লম্ব AB টানলাম। এতে OB অতিভুজ হলো √(1² + 1²) = √2 একক।
2. এবার ওই OB বাহুর ওপর B বিন্দুতে আবার একটা লম্ব BC টানলাম, যার দৈর্ঘ্য ১ একক।
3. এখন O আর C যোগ করলে যে ∆OBC সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হলো, তার অতিভুজ:
   OC = √( (√2)² + 1² ) = √(2 + 1) = √3 একক।
4. সবশেষে, O কে কেন্দ্র করে OC এর মাপে বৃত্তচাপ কাটলাম, যা সংখ্যারেখায় Q বিন্দুতে মিলল।

ছয়ের দাগের অংকটা দেখে অনেকেই ঘাবড়ে যায়, কিন্তু এটা আসলে খুব সোজা। এখানে আমাদের √5, √6, √7, -√6, -√8, আর -√11 কে একটাই সংখ্যারেখায় বসাতে হবে। চলো আমার সাথে সাথে ধাপে ধাপে করে ফেলি!

প্রথমে ডানদিকের (পজিটিভ) রুটগুলো বের করবো:

• √5 এর জন্য: আমরা ভূমি নেবো ২ এবং লম্ব নেবো ১। তাহলে পিথাগোরাসের সূত্র দিয়ে অতিভুজ পাবো √(2² + 1²) = √5।
• √6 এর জন্য: এবার ওই √5 কেই ভূমি ধরবো। তার ওপর ১ একক লম্ব টানবো। তাহলে নতুন অতিভুজ হবে √( (√5)² + 1² ) = √(5 + 1) = √6।
• √7 এর জন্য: একইভাবে আগের √6 কে ভূমি ধরে তার ওপর ১ একক লম্ব টানলে অতিভুজ হবে √( (√6)² + 1² ) = √7।

এবার আসি বাঁদিকের (নেগেটিভ) রুটগুলোতে:

• -√6 এর জন্য: এটা একদম সোজা! ডানদিকে যে √6 পেয়েছি, ওটার মাপ কম্পাস দিয়ে নেবো। তারপর ০ (O) তে বসিয়ে বাঁদিকে একটা বৃত্তচাপ কাটবো। ওটাই হলো -√6।
• -√8 এর জন্য: বাঁদিকে -২ ঘরে যাবো (ভূমি = ২)। সেখানে ২ এককের লম্ব টানবো। তাহলে অতিভুজ হবে √(2² + 2²) = √8। বৃত্তচাপ কাটলে পেয়ে যাবো -√8।
• -√11 এর জন্য: বাঁদিকে -৩ ঘরে যাবো (ভূমি = ৩)। তার ওপর √2 এককের একটা লম্ব টানবো (√2 মানে ১ এর ওপর ১ লম্ব টেনে তৈরি করা মাপ)। তাহলে অতিভুজ হবে √(3² + (√2)²) = √(9+2) = √11। বৃত্তচাপ কাটলেই -√11 পেয়ে যাবো।