কষে দেখি ১.৩ সমাধান | নবম শ্রেণির গণিত প্রকাশ | বাস্তব সংখ্যা

এখানে হর হলো 80। 80 কে ভাঙলে পাই: 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5।
যেহেতু হরের উৎপাদকে শুধু 2 এবং 5 আছে, তাই এর দশমিক বিস্তার সসীম হবে।

এখানে হর 24 = 2 × 2 × 2 × 3।
যেহেতু হরের উৎপাদকে 3 আছে, তাই এর দশমিক বিস্তার সসীম হবে না (অসীম আবৃত্ত হবে)।

এখানে হর 12 = 2 × 2 × 3।
এখানেও 3 আছে, তাই এর দশমিক বিস্তার সসীম হবে না।

এখানে হর 125 = 5 × 5 × 5।
যেহেতু হরের উৎপাদকে কেবল 5 আছে, তাই এর দশমিক বিস্তার সসীম হবে।

এখানে হর 35 = 5 × 7।
যেহেতু হরের উৎপাদকে 7 আছে, তাই এর দশমিক বিস্তার সসীম হবে না।

• (i) 111 : 1 কে 11 দিয়ে ভাগ করলে পাব 0.090909… = 0.09
  প্রকারভেদ: অসীম ও আবৃত্ত দশমিক।
• (ii) 58 : 5 কে 8 দিয়ে ভাগ করলে পাই 0.625 (ভাগ মিলে যায়)।
  প্রকারভেদ: সসীম দশমিক।
• (iii) 313 : ভাগ করলে পাই 0.230769230769… = 0.230769
  প্রকারভেদ: অসীম ও আবৃত্ত দশমিক।
• (iv) 3 18 : প্রথমে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশ করি = 258। ভাগ করলে পাই 3.125
  প্রকারভেদ: সসীম দশমিক।
• (v) 211 : ভাগ করলে পাই 0.181818… = 0.18
  প্রকারভেদ: অসীম ও আবৃত্ত দশমিক।
• (vi) 725 : ভাগ করলে পাই 0.28 (ভাগ মিলে যায়)।
  প্রকারভেদ: সসীম দশমিক।

৪টি উদাহরণ হলো:

• √2 (যার মান 1.4142… যা অসীম ও অনাবৃত্ত)
• √3 (যার মান 1.7320… যা অসীম ও অনাবৃত্ত)
• 0.10100100010000…
• 0.2020020002…

5/7 = 0.714285…
9/7 = 1.285714…

এখন 0.71… এবং 1.28… এর মধ্যে ৩টি অমূলদ সংখ্যা নিজেদের মতো তৈরি করে লিখতে পারি:

প্রথমে সংখ্যা দুটির দশমিক মান বের করি:
1/11 = 0.090909… = 0.09
3/7 = 0.428571…

অতএব, 0.09… এবং 0.42… এর মধ্যে দুটি অমূলদ সংখ্যা হলো:

47 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অসীম ও অনাবৃত্ত দশমিক হবে।
উত্তর: এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

√625 = 25, যা একটি পূর্ণসংখ্যা তথা p/q আকারে লেখা যায় (25/1)।
উত্তর: এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

এই সংখ্যাটিতে 57 বারবার ফিরে আসছে, অর্থাৎ এটি অসীম আবৃত্ত দশমিক (6.57)।
উত্তর: এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

এই সংখ্যাটিতে দশমিকের পর কোনো নির্দিষ্ট প্যাটার্ন বারবার ফিরে আসছে না (এটি অসীম ও অনাবৃত্ত)।
উত্তর: এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

• ধাপ ১: প্রথমে সাধারণ সংখ্যারেখায় 5 এবং 6 এর মাঝের অংশটিকে সমান 10 ভাগে ভাগ করি। সেখানে 5.7 ও 5.8 কে চিহ্নিত করি।
• ধাপ ২: এরপর 5.7 এবং 5.8 এর মাঝের অংশটিকে আবার 10 ভাগে ভাগ করি। সেখানে 5.76 ও 5.77 কে চিহ্নিত করি।
• ধাপ ৩: অবশেষে, 5.76 এবং 5.77 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করলে, তার ২ নম্বর দাগটিই হবে 5.762।

• ধাপ ১: 2 এবং 3 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করে 2.3 ও 2.4 চিহ্নিত করি।
• ধাপ ২: 2.3 এবং 2.4 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করে 2.32 ও 2.33 চিহ্নিত করি।
• ধাপ ৩: 2.32 এবং 2.33 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করলে, ১ নম্বর দাগটিই হবে 2.321।

• ধাপ ১: 1 এবং 2 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করে 1.0 ও 1.1 চিহ্নিত করি।
• ধাপ ২: 1.0 এবং 1.1 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করে 1.05 ও 1.06 চিহ্নিত করি।
• ধাপ ৩: 1.05 এবং 1.06 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করলে, ২ নম্বর দাগটিই হবে 1.052।

• ধাপ ১: 4 এবং 5 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করে 4.1 ও 4.2 চিহ্নিত করি।
• ধাপ ২: 4.1 এবং 4.2 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করে 4.17 ও 4.18 চিহ্নিত করি।
• ধাপ ৩: 4.17 এবং 4.18 এর মাঝের অংশটিকে 10 ভাগে ভাগ করলে, ৮ নম্বর দাগটিই হবে 4.178।

প্রথমে সংখ্যাদুটিকে 4 দশমিক স্থান পর্যন্ত বিস্তার করে নিই:
2.26 = 2.2666… (৪ দশমিক স্থান পর্যন্ত মান = 2.2666)
5.54 = 5.5444… (৪ দশমিক স্থান পর্যন্ত মান = 5.5444)

ক্রমিক বিবর্ধন পদ্ধতি (Successive Magnification):

• 2 এবং 3 এর মাঝে 2.2 ও 2.3 চিহ্নিত করি।
• 2.2 এবং 2.3 এর মাঝে 2.26 ও 2.27 চিহ্নিত করি।
• 2.26 এবং 2.27 এর মাঝে 2.266 ও 2.267 চিহ্নিত করি।
• সবশেষে 2.266 এবং 2.267 এর মাঝের অংশকে 10 ভাগ করলে তার ৬ নম্বর দাগটি হবে 2.2666।

• 5 এবং 6 এর মাঝে 5.5 ও 5.6 চিহ্নিত করি।
• 5.5 এবং 5.6 এর মাঝে 5.54 ও 5.55 চিহ্নিত করি।
• 5.54 এবং 5.55 এর মাঝে 5.544 ও 5.545 চিহ্নিত করি।
• সবশেষে 5.544 এবং 5.545 এর মাঝের অংশকে 10 ভাগ করলে তার ৪ নম্বর দাগটি হবে 5.5444।

(কারণ 0.212… < 0.22 < 0.23 < 0.232...)

একদম আগের অঙ্কের মতোই, 0.2101 এবং 0.2222 এর মাঝখানের দুটি সসীম দশমিক সংখ্যা আমরা লিখে দেব।

যেমন 2 + 3 = 5 (মূলদ)।
সত্য (True)

যেমন √3 এবং –√3 যোগ করলে 0 হয়, যা মূলদ।
মিথ্যা (False)

যেমন 2 × 3 = 6 (মূলদ)।
সত্য (True)

যেমন √2 × √2 = 2 (মূলদ হয়ে যায়)।
মিথ্যা (False)

বাস্তব সংখ্যার বড় থলির মধ্যেই সব মূলদ সংখ্যা থাকে।
সত্য (True)

বাস্তব সংখ্যার ভেতরে মূলদ সংখ্যাও আছে, তাই সব বাস্তব সংখ্যা অমূলদ নয়।
মিথ্যা (False)

যেহেতু 5 পূর্ণবর্গ নয়, তাই এর রুট অসীম ও অনাবৃত্ত হবে।
উত্তর: (c) একটি অসীম ও অনাবৃত্ত দশমিক।

যেমনটা আমি আগেই বললাম, √2 × √2 = 2 (মূলদ) হয়, আবার √2 × √3 = √6 (অমূলদ) হয়।
উত্তর: (c) মূলদ অথবা অমূলদ।

π এর মান অসীম ও অনাবৃত্ত, তাই এটি অমূলদ। কিন্তু 22/7 হলো p/q আকার, তাই এটি মূলদ।
উত্তর: (c) π অমূলদ এবং 22/7 মূলদ।

উত্তর: (c) অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে।

উত্তর: (c) অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা আছে।

ধরি দুটি অমূলদ সংখ্যা হলো (2 + √3) এবং (2 – √3)।
যোগফল = 2 + √3 + 2 – √3 = 4 (যা একটি মূলদ সংখ্যা)।

ধরি দুটি অমূলদ সংখ্যা হলো (5 + √2) এবং (3 + √2)।
বিয়োগফল = (5 + √2) – (3 + √2) = 5 – 3 = 2 (যা একটি মূলদ সংখ্যা)।

আমরা সংখ্যা দুটোকে যোগ করে 2 দিয়ে ভাগ করলেই মাঝের মূলদ সংখ্যা পেয়ে যাবো।
(1/7 + 2/7) ÷ 2 = (3/7) ÷ 2 = 3/14

1/7 = 0.142857… এবং 2/7 = 0.285714…
মাঝখানের একটা অমূলদ সংখ্যা হলো: 0.1515515551…