পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণির গণিত প্রকাশ বইয়ের তৃতীয় অধ্যায় ‘লেখচিত্র (Graph)’-এর কষে দেখি ৩.২-এর সমস্ত অঙ্কের সম্পূর্ণ ও সহজ সমাধান।
1. নিম্নলিখিত বিন্দুগুলি ছক কাগজে স্থাপন করি ও কোথায় (অক্ষের উপর অথবা কোন পাদে) অবস্থিত লিখি।
(i) (3, 0) (ii) (0, 8) (iii) (-5, 0) (iv) (0, -6)
(v) (6, 4) (vi) (-7, 4) (vii) (9, -9) (viii) (-4, -5)
ভিডিও ব্যাখ্যা: গ্রাফ পেপারে মূলবিন্দু O(0,0) থেকে ডানে x-অক্ষের ধনাত্মক, বামে x’-অক্ষের ঋণাত্মক, উপরে y-অক্ষের ধনাত্মক এবং নিচে y’-অক্ষের ঋণাত্মক দিক নিতে হয়। প্রথম মানটি x-স্থানাঙ্ক (ভুজ) এবং দ্বিতীয় মানটি y-স্থানাঙ্ক (কোটি)।
মনে রাখি: প্রথম পাদে (+, +), দ্বিতীয় পাদে (-, +), তৃতীয় পাদে (-, -) এবং চতুর্থ পাদে (+, -)। যে বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক 0 সেটি x-অক্ষের উপর এবং যে বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক 0 সেটি y-অক্ষের উপর থাকে।
| বিন্দু | কেন? | অবস্থান (কোথায় আছে) |
|---|---|---|
| (3, 0) | y-স্থানাঙ্ক 0 ⇒ x-অক্ষের উপর; x = 3 ধনাত্মক ⇒ মূলবিন্দুর ডানদিকে | x-অক্ষের ধনাত্মক দিকে |
| (0, 8) | x-স্থানাঙ্ক 0 ⇒ y-অক্ষের উপর; y = 8 ধনাত্মক ⇒ মূলবিন্দুর উপরদিকে | y-অক্ষের ধনাত্মক দিকে |
| (-5, 0) | y-স্থানাঙ্ক 0 ⇒ x-অক্ষের উপর; x = -5 ঋণাত্মক ⇒ মূলবিন্দুর বামদিকে | x-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে |
| (0, -6) | x-স্থানাঙ্ক 0 ⇒ y-অক্ষের উপর; y = -6 ঋণাত্মক ⇒ মূলবিন্দুর নিচের দিকে | y-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে |
| (6, 4) | x = 6 > 0 এবং y = 4 > 0 | প্রথম পাদে (+, +) |
| (-7, 4) | x = -7 < 0 এবং y = 4 > 0 | দ্বিতীয় পাদে (-, +) |
| (9, -9) | x = 9 > 0 এবং y = -9 < 0 | চতুর্থ পাদে (+, -) |
| (-4, -5) | x = -4 < 0 এবং y = -5 < 0 | তৃতীয় পাদে (-, -) |
ছক কাগজে বিন্দুগুলির অবস্থান
2. ছক কাগজে XOX’ এবং YOY’ পরস্পর লম্ব অক্ষ টেনে যে কোনো 5 টি বিন্দু স্থাপন করি যারা তৃতীয় পাদে অবস্থিত।
ভিডিও ব্যাখ্যা: তৃতীয় পাদে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক এবং y-স্থানাঙ্ক উভয়ই ঋণাত্মক (-, -) হয়।
অতএব, তৃতীয় পাদে অবস্থিত ৫টি বিন্দু হলো:
(-2, -3), (-4, -5), (-1, -7), (-6, -2), (-5, -5)
ছক কাগজে বসানোর নিয়ম: যেমন (-2, -3) বিন্দুটি বসাতে হলে মূলবিন্দু O থেকে x‘-অক্ষ বরাবর বামদিকে 2 একক যাই, তারপর সেখান থেকে নিচের দিকে (y-অক্ষের সমান্তরালে) 3 একক গেলে বিন্দুটি পাওয়া যাবে।
একইভাবে বাকি বিন্দুগুলিও বসাই। প্রতিটি বিন্দুর x ও y দুটিই ঋণাত্মক, তাই সবগুলি X’OY’ অংশে, অর্থাৎ তৃতীয় পাদে পড়েছে।
তৃতীয় পাদে অবস্থিত ৫টি বিন্দু
3. নীচের বক্তব্যগুলি রৈখিক সহসমীকরণ আকারে প্রকাশ করি :
(i) 3টি খাতা ও 2টি পেনের মোট দাম 55 টাকা এবং 4টি খাতা ও 3টি পেনের মোট দাম 75 টাকা।
ধরি, 1টি খাতার দাম x টাকা এবং 1টি পেনের দাম y টাকা।
প্রথম শর্তানুসারে, 3x + 2y = 55
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 4x + 3y = 75
3x + 2y = 55
4x + 3y = 75
(ii) দুটি সংখ্যার যোগফল 80 এবং ওই সংখ্যা দুটির বিয়োগফলের 3 গুণ বড়ো সংখ্যাটির থেকে 20 বেশি।
ধরি, বড়ো সংখ্যাটি x এবং ছোটো সংখ্যাটি y ।
প্রথম শর্তানুসারে, x + y = 80
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 3(x – y) = x + 20 ⇒ 2x – 3y = 20
x + y = 80
2x – 3y = 20
(iii) কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকের সঙ্গে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান হয় 7/9 এবং ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকটি থেকে 3 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান হয় 1/2 ।
ধরি, ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y । অর্থাৎ ভগ্নাংশটি হলো x/y ।
প্রথম শর্তানুসারে, (x + 2)/(y + 2) = 7/9 ⇒ 9x + 18 = 7y + 14 ⇒ 9x – 7y = -4
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, (x – 3)/(y – 3) = 1/2 ⇒ 2x – 6 = y – 3 ⇒ 2x – y = 3
9x – 7y = -4
2x – y = 3
(iv) দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কটি এককের অঙ্কের দ্বিগুণ। অঙ্কদ্বয়কে উলটে লিখলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তা মূল সংখ্যাটি অপেক্ষা 27 কম।
ধরি, সংখ্যাটির এককের অঙ্ক x এবং দশকের অঙ্ক y ।
∴ মূল সংখ্যাটি হলো: 10y + x
প্রথম শর্তানুসারে, দশকের অঙ্ক = এককের অঙ্কের দ্বিগুণ ⇒ y = 2x
অঙ্কদ্বয় উলটে লিখলে নতুন সংখ্যাটি হয়: 10x + y
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 10x + y = (10y + x) – 27 ⇒ x – y = -3
y = 2x
x – y = -3
4. নীচের বক্তব্যগুলি দুইচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি ও সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করি।
(i) বর্তমানে সুজাতার পিতার বয়স সুজাতার বয়স অপেক্ষা 26 বছর বেশি:
ধরি, পিতার বয়স x বছর এবং সুজাতার বয়স y বছর।
সমীকরণ: x – y = 26 বা y = x – 26
x = 26 হলে, y = 26 – 26 = 0
x = 30 হলে, y = 30 – 26 = 4
x = 40 হলে, y = 40 – 26 = 14
সুতরাং লেখচিত্রের তিনটি বিন্দু (26, 0), (30, 4), (40, 14)। বিন্দুগুলি ছক কাগজে বসিয়ে সরলরেখা টানলে লেখচিত্র পাব।
| x | 26 | 30 | 40 |
| y | 0 | 4 | 14 |
লেখচিত্র: x – y = 26
(ii) দুটি সংখ্যার সমষ্টি 15:
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো x এবং y ।
সমীকরণ: x + y = 15 বা y = 15 – x
x = 5 হলে, y = 15 – 5 = 10
x = 10 হলে, y = 15 – 10 = 5
x = 15 হলে, y = 15 – 15 = 0
সুতরাং লেখচিত্রের তিনটি বিন্দু (5, 10), (10, 5), (15, 0)।
| x | 5 | 10 | 15 |
| y | 10 | 5 | 0 |
লেখচিত্র: x + y = 15
(iii) ভগ্নাংশের মান 7/9 :
সমীকরণ: 9x – 7y = -4 বা y = (9x + 4)/7
y = (9x + 4)/7 সমীকরণে,
x = 5 হলে, y = (9 × 5 + 4)/7 = 49/7 = 7
x = 12 হলে, y = (9 × 12 + 4)/7 = 112/7 = 16
x = -2 হলে, y = (9 × (-2) + 4)/7 = -14/7 = -2
সুতরাং লেখচিত্রের তিনটি বিন্দু (5, 7), (12, 16), (-2, -2)।
| x | 5 | 12 | -2 |
| y | 7 | 16 | -2 |
লেখচিত্র: 9x – 7y = -4
(iv) আমাদের আয়তাকার উঠানের পরিসীমা 80 মিটার:
সমীকরণ: x + y = 40 বা y = 40 – x
ধরি, উঠানের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার। আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2 (x + y) মিটার।
শর্তানুসারে, 2 (x + y) = 80 ⇒ x + y = 40
x = 10 হলে, y = 40 – 10 = 30
x = 20 হলে, y = 40 – 20 = 20
x = 30 হলে, y = 40 – 30 = 10
সুতরাং লেখচিত্রের তিনটি বিন্দু (10, 30), (20, 20), (30, 10)।
| x | 10 | 20 | 30 |
| y | 30 | 20 | 10 |
লেখচিত্র: x + y = 40
(v) বড়োটির 5 গুণ ছোটোটির 8 গুণের সমান:
সমীকরণ: 5x = 8y বা x = 8y/5
ধরি, বড়ো সংখ্যাটি x এবং ছোটো সংখ্যাটি y। শর্তানুসারে, 5x = 8y ⇒ x = 8y/5
y = 0 হলে, x = 8 × 0/5 = 0
y = 5 হলে, x = 8 × 5/5 = 8
y = 10 হলে, x = 8 × 10/5 = 16
সুতরাং লেখচিত্রের তিনটি বিন্দু (0, 0), (8, 5), (16, 10)।
| x | 0 | 8 | 16 |
| y | 0 | 5 | 10 |
লেখচিত্র: 5x = 8y
5. নীচের সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কনের বিন্দুর ছক:
| x | 5 | 5 | 5 |
| y | 0 | 5 | -5 |
| x | 0 | 4 | -4 |
| y | -2 | -2 | -2 |
| x | 3 | -1 | 7 |
| y | 0 | 1 | -1 |
| x | 7 | 0 | 14 |
| y | 0 | -3 | 3 |
| x | 4 | -2 | 7 |
| y | 4 | -6 | 9 |
| x | 4 | 1 | 7 |
| y | 1 | 3 | -1 |
| x | 0 | 3 | -3 |
| y | 0 | -4 | 4 |
| x | 2 | 9 | -5 |
| y | 0 | 6 | -6 |
| x | 0 | 5 | 10 |
| y | 10 | 5 | 0 |
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | -3 | 2 | 7 |
| x | 0 | 5 | -5 |
| y | 0 | 0 | 0 |
6. নীচের বক্তব্যগুলি রৈখিক সহসমীকরণ আকারে প্রকাশ করি ও সমাধান করি।
(i) মামা ও ভাগ্নের বয়স:
সমাধানঃ
ধরি, বর্তমানে রজতের বয়স x বছর এবং মামার বয়স y বছর।
প্রথম শর্তানুসারে, মামার বয়স রজতের বয়সের থেকে 16 বছর বেশি, অর্থাৎ y = x + 16
8 বছর পরে রজতের বয়স হবে (x + 8) বছর এবং মামার বয়স হবে (y + 8) বছর।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, y + 8 = 2 (x + 8) ⇒ y + 8 = 2x + 16 ⇒ y = 2x + 8
নির্ণেয় সহসমীকরণ: y = x + 16 | y = 2x + 8
y = x + 16 সমীকরণে,
x = 0 হলে, y = 16
x = 4 হলে, y = 4 + 16 = 20
x = 8 হলে, y = 8 + 16 = 24
| x | 0 | 4 | 8 |
| y | 16 | 20 | 24 |
y = 2x + 8 সমীকরণে,
x = 0 হলে, y = 8
x = 4 হলে, y = 2 × 4 + 8 = 16
x = 8 হলে, y = 2 × 8 + 8 = 24
| x | 0 | 4 | 8 |
| y | 8 | 16 | 24 |
ছেদবিন্দু (8, 24) — মামা ও ভাগ্নের বয়স
ছক কাগজে বিন্দুগুলি বসিয়ে সরলরেখা দুটি টানলে দেখা যায়, রেখা দুটি পরস্পরকে (8, 24) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অতএব x = 8 এবং y = 24
যাচাই: 24 = 8 + 16 ✓। 8 বছর পরে রজতের বয়স 16 বছর ও মামার বয়স 32 বছর হবে এবং 32 = 2 × 16 ✓।
(ii) দুটি সংখ্যার সমষ্টি ও অন্তর:
সমাধানঃ
ধরি, সংখ্যা দুটি x এবং y (x > y)।
সমষ্টি 15, অর্থাৎ x + y = 15
অন্তর 3, অর্থাৎ x – y = 3
নির্ণেয় সহসমীকরণ: x + y = 15 | x – y = 3
x + y = 15 সমীকরণে, y = 15 – x
x = 0 হলে, y = 15
x = 9 হলে, y = 15 – 9 = 6
x = 15 হলে, y = 15 – 15 = 0
| x | 0 | 9 | 15 |
| y | 15 | 6 | 0 |
x – y = 3 সমীকরণে, y = x – 3
x = 3 হলে, y = 3 – 3 = 0
x = 9 হলে, y = 9 – 3 = 6
x = 0 হলে, y = 0 – 3 = -3
| x | 3 | 9 | 0 |
| y | 0 | 6 | -3 |
ছেদবিন্দু (9, 6) — সংখ্যা দুটির সমষ্টি ও অন্তর
রেখা দুটি পরস্পরকে (9, 6) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অতএব x = 9 এবং y = 6
যাচাই: 9 + 6 = 15 ✓ এবং 9 – 6 = 3 ✓
7. নীচের সহসমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করি ও ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
(i) x = 0 এবং 2x + 3y = 15
সমাধানঃ
x = 0 সমীকরণের লেখচিত্র হলো y-অক্ষ, কারণ y-অক্ষের উপরের প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক 0।
2x + 3y = 15 সমীকরণে,
x = 0 হলে, 3y = 15 ⇒ y = 5
x = 3 হলে, 6 + 3y = 15 ⇒ 3y = 9 ⇒ y = 3
x = 6 হলে, 12 + 3y = 15 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1
| x | 0 | 3 | 6 |
| y | 5 | 3 | 1 |
ছেদবিন্দু (0, 5)
2x + 3y = 15 রেখাটি y-অক্ষকে (0, 5) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(ii) y = 5 এবং 2x + 3y = 11
সমাধানঃ
y = 5 সমীকরণের লেখচিত্র x-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরলরেখা, যা x-অক্ষের উপরে 5 একক দূরে থাকে। এই রেখার প্রতিটি বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক 5।
সুতরাং y = 5 এর বিন্দুগুলি: (-2, 5), (0, 5), (3, 5)
| x | -2 | 0 | 3 |
| y | 5 | 5 | 5 |
2x + 3y = 11 সমীকরণে,
x = 4 হলে, 8 + 3y = 11 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1
x = 1 হলে, 2 + 3y = 11 ⇒ 3y = 9 ⇒ y = 3
x = -2 হলে, -4 + 3y = 11 ⇒ 3y = 15 ⇒ y = 5
| x | 4 | 1 | -2 |
| y | 1 | 3 | 5 |
ছেদবিন্দু (-2, 5)
যাচাই: y = 5 কে 2x + 3y = 11 এ বসিয়ে পাই, 2x + 15 = 11 ⇒ 2x = -4 ⇒ x = -2 ✓
(iii) x + y = 12 এবং x – y = 2
সমাধানঃ
সমীকরণ দুটি যোগ করলে: 2x = 14 ⇒ x = 7
x = 7 হলে, 7 + y = 12 ⇒ y = 5
x + y = 12 সমীকরণে, y = 12 – x
x = 5 হলে, y = 7
x = 7 হলে, y = 5
x = 12 হলে, y = 0
| x | 5 | 7 | 12 |
| y | 7 | 5 | 0 |
x – y = 2 সমীকরণে, y = x – 2
x = 2 হলে, y = 0
x = 7 হলে, y = 5
x = 9 হলে, y = 7
| x | 2 | 7 | 9 |
| y | 0 | 5 | 7 |
ছেদবিন্দুর লেখচিত্র
(iv) 3x – 5y = 16 এবং 2x – 9y = 5
সমাধানঃ
3x – 5y = 16 সমীকরণে,
x = 7 হলে, 21 – 5y = 16 ⇒ 5y = 5 ⇒ y = 1
x = 2 হলে, 6 – 5y = 16 ⇒ -5y = 10 ⇒ y = -2
x = 12 হলে, 36 – 5y = 16 ⇒ 5y = 20 ⇒ y = 4
| x | 7 | 2 | 12 |
| y | 1 | -2 | 4 |
2x – 9y = 5 সমীকরণে,
x = 7 হলে, 14 – 9y = 5 ⇒ 9y = 9 ⇒ y = 1
x = -2 হলে, -4 – 9y = 5 ⇒ -9y = 9 ⇒ y = -1
x = 16 হলে, 32 – 9y = 5 ⇒ 9y = 27 ⇒ y = 3
| x | 7 | -2 | 16 |
| y | 1 | -1 | 3 |
ছেদবিন্দু (7, 1)
যাচাই: প্রথম সমীকরণকে 2 দিয়ে এবং দ্বিতীয়টিকে 3 দিয়ে গুণ করলে 6x – 10y = 32 ও 6x – 27y = 15 পাই। বিয়োগ করে 17y = 17 ⇒ y = 1 এবং x = 7 ✓
8. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান:
(i) 4x – y = 3 ; 2x + 3y = 5
সমাধানঃ
4x – y = 3 সমীকরণে, y = 4x – 3
x = 0 হলে, y = -3
x = 1 হলে, y = 4 – 3 = 1
x = 2 হলে, y = 8 – 3 = 5
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | -3 | 1 | 5 |
2x + 3y = 5 সমীকরণে,
x = 1 হলে, 2 + 3y = 5 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1
x = -2 হলে, -4 + 3y = 5 ⇒ 3y = 9 ⇒ y = 3
x = 4 হলে, 8 + 3y = 5 ⇒ 3y = -3 ⇒ y = -1
| x | 1 | -2 | 4 |
| y | 1 | 3 | -1 |
সমাধান: x = 1, y = 1
রেখা দুটি পরস্পরকে (1, 1) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অতএব x = 1, y = 1
যাচাই: 4 × 1 – 1 = 3 ✓ এবং 2 × 1 + 3 × 1 = 5 ✓
(ii) 3x – y = 5 ; 4x + 3y = 11
সমাধানঃ
3x – y = 5 সমীকরণে, y = 3x – 5
x = 0 হলে, y = -5
x = 1 হলে, y = 3 – 5 = -2
x = 2 হলে, y = 6 – 5 = 1
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | -5 | -2 | 1 |
4x + 3y = 11 সমীকরণে,
x = 2 হলে, 8 + 3y = 11 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1
x = -1 হলে, -4 + 3y = 11 ⇒ 3y = 15 ⇒ y = 5
x = 5 হলে, 20 + 3y = 11 ⇒ 3y = -9 ⇒ y = -3
| x | 2 | -1 | 5 |
| y | 1 | 5 | -3 |
সমাধান: x = 2, y = 1
রেখা দুটি পরস্পরকে (2, 1) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অতএব x = 2, y = 1
যাচাই: 3 × 2 – 1 = 5 ✓ এবং 4 × 2 + 3 × 1 = 11 ✓
(iii) 3x – 2y = 1 ; 2x – y = 3
সমাধানঃ
3x – 2y = 1 সমীকরণে,
x = 1 হলে, 3 – 2y = 1 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1
x = 3 হলে, 9 – 2y = 1 ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 4
x = 5 হলে, 15 – 2y = 1 ⇒ 2y = 14 ⇒ y = 7
| x | 1 | 3 | 5 |
| y | 1 | 4 | 7 |
2x – y = 3 সমীকরণে, y = 2x – 3
x = 2 হলে, y = 4 – 3 = 1
x = 3 হলে, y = 6 – 3 = 3
x = 5 হলে, y = 10 – 3 = 7
| x | 2 | 3 | 5 |
| y | 1 | 3 | 7 |
সমাধান: x = 5, y = 7
রেখা দুটি পরস্পরকে (5, 7) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অতএব x = 5, y = 7
যাচাই: 3 × 5 – 2 × 7 = 15 – 14 = 1 ✓ এবং 2 × 5 – 7 = 3 ✓
(iv) 2x + 3y = 12 ; 2x = 3y
সমাধানঃ
2x + 3y = 12 সমীকরণে,
x = 0 হলে, 3y = 12 ⇒ y = 4
x = 3 হলে, 6 + 3y = 12 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2
x = 6 হলে, 12 + 3y = 12 ⇒ y = 0
| x | 0 | 3 | 6 |
| y | 4 | 2 | 0 |
2x = 3y সমীকরণে,
x = 0 হলে, 3y = 0 ⇒ y = 0
x = 3 হলে, 3y = 6 ⇒ y = 2
x = 6 হলে, 3y = 12 ⇒ y = 4
| x | 0 | 3 | 6 |
| y | 0 | 2 | 4 |
সমাধান: x = 3, y = 2
রেখা দুটি পরস্পরকে (3, 2) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অতএব x = 3, y = 2
যাচাই: 2 × 3 + 3 × 2 = 12 ✓ এবং 2 × 3 = 6 = 3 × 2 ✓
(v) 5x – 2y = 1 ; 3x + 5y = 13
সমাধানঃ
5x – 2y = 1 সমীকরণে,
x = 1 হলে, 5 – 2y = 1 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2
x = 3 হলে, 15 – 2y = 1 ⇒ 2y = 14 ⇒ y = 7
x = -1 হলে, -5 – 2y = 1 ⇒ -2y = 6 ⇒ y = -3
| x | 1 | 3 | -1 |
| y | 2 | 7 | -3 |
3x + 5y = 13 সমীকরণে,
x = 1 হলে, 3 + 5y = 13 ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2
x = -4 হলে, -12 + 5y = 13 ⇒ 5y = 25 ⇒ y = 5
x = 6 হলে, 18 + 5y = 13 ⇒ 5y = -5 ⇒ y = -1
| x | 1 | -4 | 6 |
| y | 2 | 5 | -1 |
সমাধান: x = 1, y = 2
রেখা দুটি পরস্পরকে (1, 2) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অতএব x = 1, y = 2
যাচাই: 5 × 1 – 2 × 2 = 1 ✓ এবং 3 × 1 + 5 × 2 = 13 ✓
9. 3x + 2y = 12 , 12 = 9x – 2y এর সমাধান:
সমাধানঃ
3x + 2y = 12 সমীকরণে,
x = 0 হলে, 2y = 12 ⇒ y = 6
x = 2 হলে, 6 + 2y = 12 ⇒ 2y = 6 ⇒ y = 3
x = 4 হলে, 12 + 2y = 12 ⇒ y = 0
| x | 0 | 2 | 4 |
| y | 6 | 3 | 0 |
12 = 9x – 2y, অর্থাৎ 9x – 2y = 12 সমীকরণে,
x = 0 হলে, -2y = 12 ⇒ y = -6
x = 2 হলে, 18 – 2y = 12 ⇒ 2y = 6 ⇒ y = 3
x = 4 হলে, 36 – 2y = 12 ⇒ 2y = 24 ⇒ y = 12
| x | 0 | 2 | 4 |
| y | -6 | 3 | 12 |
ছেদবিন্দু (2, 3)
রেখা দুটি পরস্পরকে (2, 3) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
যাচাই: 3 × 2 + 2 × 3 = 12 ✓ এবং 9 × 2 – 2 × 3 = 18 – 6 = 12 ✓
10. x/3 + y/4 = 2 সমীকরণের উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণ: x/3 + y/4 = 2
উভয় পক্ষকে 3 ও 4 এর ল.সা.গু. 12 দিয়ে গুণ করে পাই, 4x + 3y = 24
x-অক্ষকে ছেদ করার জন্য y = 0 বসিয়ে পাই, 4x = 24 ⇒ x = 6। ∴ x-অক্ষের ছেদবিন্দু A (6, 0)
y-অক্ষকে ছেদ করার জন্য x = 0 বসিয়ে পাই, 3y = 24 ⇒ y = 8। ∴ y-অক্ষের ছেদবিন্দু B (0, 8)
তৃতীয় একটি বিন্দু: x = 3 হলে, 12 + 3y = 24 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 4
| x | 6 | 0 | 3 |
| y | 0 | 8 | 4 |
উৎপন্ন ত্রিভুজের লেখচিত্র
রেখাটি অক্ষ দুটির সঙ্গে △OAB গঠন করেছে, যার ∠AOB = 90°। ভূমি OA = 6 একক এবং উচ্চতা OB = 8 একক।
সমীকরণ: 4x + 3y = 24
x-অক্ষের ছেদবিন্দু: (6, 0) | y-অক্ষের ছেদবিন্দু: (0, 8)
11. x = 4, y = 3 এবং 3x + 4y = 12 ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
সমাধানঃ
x = 4 সমীকরণের লেখচিত্র y-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা, y-অক্ষ থেকে ডানদিকে 4 একক দূরে।
y = 3 সমীকরণের লেখচিত্র x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা, x-অক্ষ থেকে উপরের দিকে 3 একক দূরে।
3x + 4y = 12 সমীকরণে,
x = 0 হলে, 4y = 12 ⇒ y = 3
x = 4 হলে, 12 + 4y = 12 ⇒ y = 0
x = 8 হলে, 24 + 4y = 12 ⇒ 4y = -12 ⇒ y = -3
| x | 0 | 4 | 8 |
| y | 3 | 0 | -3 |
রেখা তিনটির ছেদবিন্দু নির্ণয় করি:
x = 4 ও y = 3 এর ছেদবিন্দু: (4, 3)
x = 4 ও 3x + 4y = 12 এর ছেদবিন্দু: 3 × 4 + 4y = 12 ⇒ y = 0, বিন্দুটি (4, 0)
y = 3 ও 3x + 4y = 12 এর ছেদবিন্দু: 3x + 4 × 3 = 12 ⇒ x = 0, বিন্দুটি (0, 3)
উৎপন্ন ত্রিভুজের লেখচিত্র
শীর্ষবিন্দুগুলি: (4, 0), (0, 3) এবং (4, 3)। ভূমি = 4 একক, উচ্চতা = 3 একক।
ভূমি: (0, 3) থেকে (4, 3) পর্যন্ত দূরত্ব = 4 একক এবং উচ্চতা: (4, 3) থেকে (4, 0) পর্যন্ত দূরত্ব = 3 একক; (4, 3) বিন্দুতে সমকোণ।
12. y = (x + 2)/3 সমীকরণটির মান নির্ণয়:
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণ: y = (x + 2)/3
১ম অংশ: x = -2 বসিয়ে পাই, y = (-2 + 2)/3 = 0/3 = 0
২য় অংশ: y = 3 বসিয়ে পাই, 3 = (x + 2)/3 ⇒ x + 2 = 9 (আড়গুণন করে) ⇒ x = 9 – 2 = 7
যখন x = -2, তখন y = 0 ।
যখন y = 3, তখন x = 7 ।
লেখচিত্র: y = (x + 2)/3
13. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান: (3x – 1)/2 = (2x + 6)/3
সমাধানঃ
ধরি, y = (3x – 1)/2 ….. (1) এবং y = (2x + 6)/3 ….. (2)
(1) নং সমীকরণে,
x = 1 হলে, y = (3 – 1)/2 = 1
x = 3 হলে, y = (9 – 1)/2 = 4
x = -1 হলে, y = (-3 – 1)/2 = -2
| x | 1 | 3 | -1 |
| y | 1 | 4 | -2 |
(2) নং সমীকরণে,
x = 0 হলে, y = 6/3 = 2
x = 3 হলে, y = (6 + 6)/3 = 4
x = -3 হলে, y = (-6 + 6)/3 = 0
| x | 0 | 3 | -3 |
| y | 2 | 4 | 0 |
লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান: x = 3
রেখা দুটি (3, 4) বিন্দুতে ছেদ করেছে। এই বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক 3, অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান x = 3
বীজগণিতিক ও রৈখিক সমাধান: 3(3x – 1) = 2(2x + 6) ⇒ 9x – 3 = 4x + 12 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3
14. বহুমুখী বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) 2x + 3 = 0 ⇒ সঠিক উত্তর: (b) y-অক্ষের সমান্তরাল
ব্যাখ্যা: 2x + 3 = 0 ⇒ 2x = -3 ⇒ x = –3/2। এখানে x এর মান ধ্রুবক, y যে-কোনো মান হতে পারে। তাই লেখচিত্র y-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা।
(ii) ay + b = 0 (a, b ≠ 0) ⇒ সঠিক উত্তর: (a) x-অক্ষের সমান্তরাল
ব্যাখ্যা: ay + b = 0 ⇒ y = –b/a। এখানে y এর মান ধ্রুবক এবং শূন্য নয় (b ≠ 0), x যে-কোনো মান হতে পারে। তাই লেখচিত্র x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা।
(iii) 2x + 3y = 0 ⇒ সঠিক উত্তর: (c) মূলবিন্দুগামী
ব্যাখ্যা: x = 0, y = 0 বসালে 2 × 0 + 3 × 0 = 0 হয়, অর্থাৎ (0, 0) বিন্দুটি সমীকরণকে সিদ্ধ করে। তাই লেখচিত্র মূলবিন্দু দিয়ে যায়।
(iv) cx + d = 0 (c ≠ 0) ⇒ সঠিক উত্তর: (c) d = 0
ব্যাখ্যা: cx + d = 0 ⇒ x = –d/c। লেখচিত্রটি y-অক্ষের সঙ্গে মিলে যেতে হলে x = 0 হতে হবে, অর্থাৎ –d/c = 0 ⇒ d = 0।
(v) ay + b = 0 (a ≠ 0) ⇒ সঠিক উত্তর: (d) b = 0
ব্যাখ্যা: ay + b = 0 ⇒ y = –b/a। লেখচিত্রটি x-অক্ষের সঙ্গে মিলে যেতে হলে y = 0 হতে হবে, অর্থাৎ –b/a = 0 ⇒ b = 0।
15. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :
(i) 2x + 3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি x-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধানঃ
2x + 3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি x-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার y-স্থানাঙ্ক বা কোটি সর্বদা শূন্য।
অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকরণে y এর স্থানে 0 বসিয়ে পাই,
2x + 3 × 0 = 12
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6
(ii) 2x – 3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি y-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধানঃ
2x – 3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি y-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার x-স্থানাঙ্ক বা ভুজ সর্বদা শূন্য।
অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকরণে x এর স্থানে 0 বসিয়ে পাই,
2 × 0 – 3y = 12
⇒ -3y = 12
⇒ y = -4
(iii) 3x + 4y = 12 সমীকরণের লেখচিত্র ও অক্ষ দুটির দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল লিখি।
সমাধানঃ
x-অক্ষকে ছেদ করে এমন বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক 0। 3x + 4y = 12 এ y = 0 বসিয়ে পাই, 3x = 12 ⇒ x = 4। বিন্দুটি A (4, 0)
y-অক্ষকে ছেদ করে এমন বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক 0। 3x + 4y = 12 এ x = 0 বসিয়ে পাই, 4y = 12 ⇒ y = 3। বিন্দুটি B (0, 3)
রেখাটি অক্ষ দুটির সঙ্গে △OAB গঠন করে (O মূলবিন্দু), যার ভূমি OA = 4 একক এবং উচ্চতা OB = 3 একক।
(iv) (6, -8) বিন্দুটির x অক্ষ থেকে দূরত্ব ও y অক্ষ থেকে দূরত্ব কত তা লিখি।
সমাধানঃ
কোনো বিন্দুর x-অক্ষ থেকে দূরত্ব হলো ওই বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক বা কোটির পরম মান, আর y-অক্ষ থেকে দূরত্ব হলো x-স্থানাঙ্ক বা ভুজের পরম মান।
(6, -8) বিন্দুটির y-স্থানাঙ্ক = -8, তাই x-অক্ষ থেকে দূরত্ব = |-8| = 8 একক
(6, -8) বিন্দুটির x-স্থানাঙ্ক = 6, তাই y-অক্ষ থেকে দূরত্ব = |6| = 6 একক
(v) x = y সমীকরণের লেখচিত্র x অক্ষের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তার মান লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণটি হল, y = x
বা, y = (1) x + 0 [ y = mx + c সরলরেখায় m হল সরলরেখার নতি এবং m = tan θ ]
এখানে, m = 1 = tan 45°
∴ x = y সমীকরণের লেখচিত্র x অক্ষের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তার মান 45° ।
